Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，AB是⊙O的一條弦，AP是⊙O的切線，作BM＝AB并與AP交于點M，延長MB交AC于點E，交⊙O于點D，連接AD．

（1）求證：AB＝BE；

（2）若⊙O的半徑R＝2.5，MB＝3，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠MAE＝90°，由等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，進而得證；

（2）根據(jù)圓周角定理的推論得出∠ABC＝90°，進而可證明△ABC∽△EAM，利用相似三角形的性質(zhì)求出AM，由圓周角定理證明∠AMB＝∠D即可．

（1）證明：∵AC為直徑，AP是⊙O的切線，

∴∠MAE＝90°，

∴∠MAB＋∠BAE＝90°，∠AMB＋∠AEB＝90°，

∵BM＝BA，

∴∠BAM＝∠BMA，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE；

（2）解：連接BC，∵AC為直徑，

∴∠ABC＝90°，

∵∠BAE＝∠BEA，∠MAE＝∠ABC＝90°，

∴△ABC∽△EAM，

∴，∠AMB＝∠C，

即，

解得，，

又∵∠C＝∠D，

∴∠AMB＝∠D

∴．