Question

已知拋物線y=-x²-2x+3與x軸交于A，B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．將直線BC向下平移，與拋物線交于點B′，C′（B′與B對應(yīng)，C′與C對應(yīng)），與y軸交于點D，當(dāng)點D是線段B′C′的三等分點時，則D的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：計算題

分析：作出圖形，過點B'作B'E⊥y軸于點E，過點C'作C'E⊥y軸于點F，設(shè)點B'坐標(biāo)（x₁，y₁ ），C'（x₂，y₂ ），設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，a），易求得直線BC解析式，根據(jù)平移即可求得直線B'C'的解析式，根據(jù)直線B'C'與拋物線交于點B′，C′可得x₁+x₂=1，x₁•x₂=a-3，易證△B'DE∽△C'DF，可得

C′F

B′E

=

C′D

B′D

，根據(jù)點D是線段B′C′的三等分點分類討論①C'D：B'D=1：2，②C'D：B'D=2：1，即可解題．

解答：解：作出圖形，過點B'作B'E⊥y軸于點E，過點C'作C'E⊥y軸于點F，設(shè)點B'坐標(biāo)（x₁，y₁ ），C'（x₂，y₂ ），

設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，a），直線BC的解析式為y=kx+b，
將點B，C代入直線BC解析式得：

0=k+b 3=b

，
∴k=-3，b=3，
∴直線BC解析式為y=-3x+3，
∵直線B'C'是直線BC向下平移而來，
∴BC向下平移單位是（3-a）個，
∴直線B'C'解析式為y=-3x+3-（3-a）=-3x+a，
把y=-3x+a與y=-x²-2x+3聯(lián)立得：-3x+a=-x²-2x+3，
整理得：x²-x+a-3=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=a-3，
∵點D是線段B′C′的三等分點，
∴C'D：B'D=1：2或C'D：B'D=2：1，
∵C'F=-x₂ （x₂＜0），B'E=x₁ （x₁＞0），
∵∠C'DF=∠B'DE，∠C'FD=∠B'ED=90°，
∴△B'DE∽△C'DF，
∴

C′F

B′E

=

C′D

B′D

，
①當(dāng)C'D：B'D=1：2時，-x₂：x₁=1：2，
∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=a-3，
∴x₁=2，x₂=-1，a=1，
②C'D：B'D=2：1時，-x₂：x₁=2：1，
∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=a-3，
∴x₁=-1，x₂=2，a=1，（不符合題意，舍去）
∴點D坐標(biāo)為（0，1）．

點評：本題考查了拋物線與x軸交點的求解，考查了韋達(dá)定理的運用，考查了直線和拋物線交點的求解，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證△B'DE∽△C'DF是解題的關(guān)鍵．