Question

如圖1，已知拋物線y=-

1

8

x²+bx+c經(jīng)過點A（6，0），B（0，3），點C與點B關(guān)于拋物線對稱軸對稱．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并求點C的坐標(biāo)；
（2）點P是線段OA上一動點，以O(shè)P為直角邊作等腰直角三角形OPQ，使△OPQ與△OAB在x軸的同側(cè)，且∠OPQ=90°，OP=PQ．
①當(dāng)點Q恰好在線段AB上時，求OP的長；
②將①中的△OPQ沿x軸向右平移，記平移后的△OPQ為△O′P′Q′，當(dāng)點P′與點A重合時停止平移．設(shè)平移的距離為t，P′Q′與AB交于點M，連接O′C、O′M、CM．是否存在這樣的t，使△O′CM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
③在②的平移過程中，設(shè)△O′P′Q′與△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先根據(jù)已知點的坐標(biāo)代入到拋物線的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可確定對稱軸，然后利用點B的坐標(biāo)表示出點C的坐標(biāo)即可；
（2）①設(shè)OP=x，則OP=PQ=x，根據(jù)OA=6，OB=3，得到AP=OAB-OP=6-x，然后PQ∥OB得到△APQ∽△AOB，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出算式計算x的值即可求得線段OP的長；
②過點C作CG⊥OA于G，根據(jù)△MP′A∽△BOA表示出MP′=2-

1

2

t，然后在Rt△O′P′M中，（O′M）²=（MP′）²+（O′P′）²=（2-

1

2

t）²+2²=

1

4

t²-2t+8，在Rt△O′CG′中，（O′C）²=CG²+（O′G）²=3²+（t-2）²=t²-4t+13，在Rt△CHM中，CM²=CH²+HM²=(

1

2

t+1)2+t2=

5

4

t²+t+1，分若∠CO′M=90°，則CM²=O′M²-O′C²、若∠OC′M=90°，則O′M²-CM²=O′C²、若∠BDM=90°，則O′M²-=O′C²-CM²，求得t值即可；
③分當(dāng)0≤t≤

4

3

時和當(dāng)

4

3

＜t≤4時兩種情況分類討論即可確定解析式．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

8

x²+bx+c經(jīng)過點A（6，0），B（0，3），
∴

- 36 8 +6b+c=0 c=3

，
∴

b= 1 4 c=3

，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式y=-

1

8

x2+

1

4

x+3，
∴對稱軸為x=1，
∴點C的坐標(biāo)為（2，3）；

（2）①如圖，點Q在線段AB上

設(shè)OP=x，則OP=PQ=x，
∵OA=6，OB=3，
∴AP=OAB-OP=6-x，
∵PQ∥OB，
∴△APQ∽△AOB，
∴

PQ

OB

=

AP

OA

，
即

x

3

=

6-x

6

，
解得：x=2，
即OP=2；

②存在滿足條件的t，
理由：如圖，過點C作CG⊥OA于G，

則OG=BC=2，CG=OB=3，
由題意得：OO′=t，GO′=|t-2|，AP′=4-t，
∵P′M∥OB，
∴△MP′A∽△BOA，
∴

MP′

OB

=

AP′

OA

，即

MP′

3

=

4-t

6

，
∴MP′=2-

1

2

t，
在Rt△O′P′M中，（O′M）²=（MP′）²+（O′P′）²=（2-

1

2

t）²+2²=

1

4

t²-2t+8，
在Rt△O′CG′中，（O′C）²=CG²+（O′G）²=3²+（t-2）²=t²-4t+13，
過點M作MH⊥CG于H，
則HM=GP′=t，GH=MP′=2-

1

2

t，
∴CH=CG-HG=3-（2-

1

2

t）=

1

2

t+1，
在Rt△CHM中，CM²=CH²+HM²=(

1

2

t+1)2+t2=

5

4

t²+t+1，
（Ⅰ）若∠CO′M=90°，則CM²=O′M²-O′C²，
即：

5

4

t²+t+1=

1

4

t²-2t+8-（t²-4t+13），
解得：t=

20

7

；
（Ⅱ）若∠OC′M=90°，則O′M²-CM²=O′C²，
即：

1

4

t²-2t+8-（

5

4

t²+t+1）=t²-4t+13，
解得：t=-3+

17

或t=-3-

17

；
（Ⅲ）若∠BDM=90°，則O′M²-=O′C²-CM²
即：

1

4

t²-2t+8²=（t²-4t+13）-（

5

4

t²+t+1），
此方程無解；
綜上所述，當(dāng)t=

20

7

或-3+

17

時，△O′CM是直角三角形；
③當(dāng)0≤t≤

4

3

時，S=

1

12

t2，
當(dāng)

4

3

＜t≤4時，S=-

13

168

t2+

3

7

t-

2

7

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和勾股定理．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．