Question

如圖，在△ABC中，∠A=60°，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：BC=BD；
（2）若BC=3，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接BO、BE，可證明∠BDC=∠BCD=30°，從而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)BD=BC，可得出BD=3，再由直角三角形的性質(zhì)得出CD的長(zhǎng)即可．

解答：解：連接BO、BE，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30°
∵CE是直徑，
∴∠CBE=90°，
∴∠CEB=60°，
∴∠OBE=60°，
∵BD為⊙O切線，
∴∠OBD=90°，
∴∠DBE=∠EDB=30°，
∴∠BDC=∠BCD=30°，
∴BC=BD；

（2）∵BC=BD，BC=3，
∴BD=3，
∵∠BCD=30°，
∴tan30°=

BE

BC

，
∴BE=

3

，
∴CE=2

3

，OB=

3

，
∴OD=2

3

，
∴CD=OD+OC=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形以及勾股定理的綜合運(yùn)用，是重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．