【題目】如圖,在△ABC 中,點(diǎn)OAC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線MNBC,設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F

1)求證:EO=FO

2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) 當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到OA=OC處,四邊形AECF是矩形.理由見(jiàn)解析.

【解析】

1)由于CE平分∠BCA,那么有∠1=2,而MNBC,利用平行線的性質(zhì)有∠1=3,等量代換有∠2=3,于OE=OC,同理OC=OF,于是OE=OF;
2OA=OC,那么可證四邊形AECF是平行四邊形,又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線,易證∠ECF90°,從而可證四邊形AECF是矩形.

(1)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形;理由如下:

如圖所示:


CE平分∠BCA,
∴∠1=2,
又∵MNBC,
∴∠1=3,
∴∠3=2,
EO=CO,
同理,FO=CO,
EO=FO
(2)當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到OA=OC處,四邊形AECF是矩形.理由如下:

OA=OC
∴四邊形AECF是平行四邊形,
CF是∠BCA的外角平分線,
∴∠4=5
又∵∠1=2,
∴∠1+5=2+4,
又∵∠1+5+2+4=180°
∴∠2+4=90°,
∴平行四邊形AECF是矩形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,正方形ABCD邊長(zhǎng)為4cm,以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓,過(guò)A作半圓的切線,與半圓相切于F點(diǎn),與DC相交于E點(diǎn),則△ADE的面積( 。

A.12
B.24
C.8
D.6

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【題目】有一條拋物線,三位學(xué)生分別說(shuō)出了它的一些性質(zhì):
甲說(shuō):對(duì)稱軸是直線x=2;
乙說(shuō):與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)距離為6;
丙說(shuō):頂點(diǎn)與x軸的交點(diǎn)圍成的三角形面積等于9,請(qǐng)你寫出滿足
上述全部條件的一條拋物線的解析式:

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【題目】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小方格的邊長(zhǎng) 1,點(diǎn) A、B、C 是格點(diǎn).

1)計(jì)算:AB= ;BC= AC= ;

2)只用直尺(不帶刻度)作出 AB 邊上的高 CH(保留作圖 痕跡)CH= ;

3)只用直尺(不帶刻度)作出 AC 邊上的高 BG(保留作圖痕跡).

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【題目】如圖,在ABC中,ACB=90°,BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,且BE=BF,添加一個(gè)條件,仍不能證明四邊形BECF為正方形的是

A. BC=AC B. CFBF C. BD=DF D. AC=BF

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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直,垂足為點(diǎn)D,直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,CE平分∠ACB,交AB于點(diǎn)E.

(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)求證:△PCE是等腰三角形.

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【題目】已知:如圖,直線ab,直線c與直線a、b分別相交于CD兩點(diǎn),直線d與直線a、b分別相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B兩點(diǎn)重合)

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),總有:∠CPD=∠PCA+PDB,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠CPD、∠PCA、∠PDB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠CPD、∠PCA、∠PDB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系(只需直接給出結(jié)論)?

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操作與思考:

1)畫出線段和直線;

2)直線的位置關(guān)系是_______,理由是:____________________________;

線段的數(shù)量關(guān)系是_______,理由是:____________________________.

實(shí)踐與應(yīng)用:

3)如圖,等邊和等邊的面積分別為35,點(diǎn)、在一直線上,則的面積是_____________.

4)如圖,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)用三種不同方法,求出的面積.

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(1)如圖①,AB∥CD,BE∥DF,∠1與∠2的關(guān)系是 ;

證明:

(2)如圖②,AB∥CD,BE∥DF,∠1與∠2的關(guān)系是 ;

證明:

(3)經(jīng)過(guò)上述證明,我們可得出結(jié)論,如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角 ;

(4)若這兩個(gè)角的兩邊分別平行,且一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少60°,則這兩個(gè)角分別是多少度?

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