Question

（1）已知：a²-b²=（a-b）（a+b）；a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）；a⁴-b⁴=（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）；按此規(guī)律，則：
①a⁵-b⁵=（a-b）（

 

）；
②若a-

1

a

=2，你能根據(jù)上述規(guī)律求出代數(shù)式a³-

1

a3

的值嗎？
（2）觀察下列各式：
（x²-1）÷（x-1）=x+1
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1
…
③能得到一般情況下（xⁿ-1）÷（x-1）=

 

④根據(jù)公式計算：1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³=

 

．

Answer 1

考點：因式分解的應(yīng)用

專題：規(guī)律型

分析：（1）①在式子中，a的指數(shù)由高到低，b的指數(shù)由低到高，由此規(guī)律得出答案即可；
②將a和

1

a

分別看作一個數(shù)，代入a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）即可計算；
（2）①根據(jù)已知的式子可得到的式子是關(guān)于x的一個式子，最高次數(shù)是n-1，共有n項；
②把2當(dāng)作x，即可把所求的式子看成是兩個二項式的商的形式，逆用（1）的結(jié)果即可求解．

解答：解：（1）①a⁵-b⁵=（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）；
②∵a-

1

a

=2，
∴a³-

1

a3

=（a-

1

a

）（a²+a•

1

a

+

1

a2

）
=（a-

1

a

）（a²+

1

a2

+1）
=（a-

1

a

）（a²+

1

a2

-2+2+1）
=（a-

1

a

）[（a-

1

a

）²+3]
=2×（2²+3）
=14；
（2）①（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+x+1；
②1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶²+2⁶³=（2⁶⁴-1）÷（2-1）=2⁶⁴-1．

點評：此題考查因式分解的實際運用，從簡單的情形考慮，找出運算的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．