【題目】提出問題:
(1)如圖1,在正方形ABCD中,點E,H分別在BC,AB上,若AE⊥DH于點O,求證:AE=DH;
類比探究:
(2)如圖2,在正方形ABCD中,點H,E,G,F(xiàn)分別在邊AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于點O,探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
綜合運用:
(3)在(2)問條件下,HF∥GE,如圖3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求圖中陰影部分的面積。
【答案】(1)證明見解析(2)EF=GH(3)
【解析】(1)由正方形的性質(zhì)可得AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.又由∠ADO+∠OAD=90°,可證得∠HAO=∠ADO,繼而證得△ABE≌△DAH,可得AE=DH;
(2)將FE平移到AM處,則AM∥EF,AM=EF,將GH平移到DN處,則DN∥GH,DN=GH.根據(jù)(1)的結(jié)論得AM=DN,所以EF=GH;
(3)過點F作FP⊥BC于點P,易證得△AHF∽△CGE,即可求得EC,AF的長,繼而求得EF的長,然后由平行線分線段成比例定理,求得,然后分別求出△FOH與△EOG的面積,即可求得答案.
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH,
∴∠HAO+∠OAD=90°,
∵AE⊥DH,
∴∠ADO+∠OAD=90°,
∴∠HAO=∠ADO,
∴△ABE≌△DAH(ASA),
∴AE=DH;
(2)EF=GH,理由如下:
將FE平移到AM處,則AM∥EF,AM=EF,
將GH平移到DN處,則DN∥GH,DN=GH,
∵EF⊥GH,
∴AM⊥DN,
根據(jù)(1)的結(jié)論得AM=DN,所以EF=GH;
(3)解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴∠AHO=∠CGO,
∵FH∥EG,
∴∠FHO=∠EGO,
∴∠AHF=∠CGE,
∴△AHF∽△CGE,
∴,
∵EC=2,
∴AF=1,
過F作FP⊥BC于點P,
根據(jù)勾股定理得EF=,
∵FH∥EG,
∴,
根據(jù)(2)知EF=GH,
∴FO=HO,
∴,
,
∴陰影部分面積為.
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【題目】(1)己知:如圖,△ABC,∠C=90°,現(xiàn)將斜邊AB繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°到AD,過D點作DE⊥CA,交CA的延長線于點E.求證:△ABC ≌ △DAE
(2)如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,則四邊形ABCD的面積為 。
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【題目】如圖,△ABC的高BD,CE相交于點O.請你添加一個條件,使BD=CE.你所添加的條件是________.(僅添加一對相等的線段或一對相等的角)
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【題目】在草莓上市的旺季,小穎和媽媽周末計劃去草莓園采摘草莓.甲、乙兩家草莓園生產(chǎn)的草莓品質(zhì)相同,每千克售價均為元.甲草莓園的優(yōu)惠方案是:游客進園需購買每人元的門票,采摘的草莓按六折收費;乙草莓園的優(yōu)惠方案是:游客進園不需購買門票,采摘的草莓超過千克后,超過部分按五折收費.請你回答下列問題:
(1)如果去乙草莓園采摘千克草莓,需支付多少元?
(2)如果個人去甲草莓園采摘千克草莓,需支付多少元?
(3)小穎和媽媽準備采摘千克草莓送給朋友,哪家會更便宜?請說明理由.
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【題目】已知拋物線經(jīng)過A(0,-3),B(-1,0),且拋物線對稱軸為直線,E
是拋物線的頂點。
(1)求拋物線的解析式以及頂點坐標E。
(2)在軸上是否存在點P,使得周長最短,若存在,請求出P點坐標,若不存在,請說
明理由。
(3)直線與拋物線交于C、D兩點,Q是直線DC下方拋物線上的一點,是否存在點Q
使得的面積最大,若存在請求出最大面積,若不存在,請說明理由。
(4)拋物線上是否存在點M,使得是直角三角形,若存在,直接寫出M點坐標,若不
存在,請說明理由。
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【題目】“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定:小汽車在城街路上行駛速度不得超過km/h.如圖,一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛,某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方m處,過了2s后,測得小汽車與車速檢測儀間距離為m,這輛小汽車超速了嗎?
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【題目】下列兩個三角形中,一定全等的是()
A. 兩個等邊三角形
B. 有一個角是,腰相等的兩個等腰三角形
C. 有一條邊相等,有一個內(nèi)角相等的兩個等腰三角形
D. 有一個角是,底相等的兩個等腰三角形
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=60°,OA=OB,動點C從點O出發(fā),沿射線OB方向移動,以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD,連接BD,則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 平行、相交或垂直
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點,連接CD,過E作EF∥DC交BC的延長線于F.
(1)證明:四邊形CDEF是平行四邊形;
(2)若四邊形CDEF的周長是25cm,AC的長為5cm,求線段AB的長度.
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