Question

某山區(qū)的一種特產(chǎn)由于運輸原因，長期只能在當?shù)劁N售，當?shù)卣�府對該特產(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P=（萬元）。當?shù)卣�府擬規(guī)劃加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年最多可投人100萬元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出60萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售。在外地銷售的投資收益為：每投入萬元，可獲利潤Q=（萬元）。

（1）若不進行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少？

（2）若按規(guī)劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根據(jù)（1）、（2），該方案是否具有實施價值？

Answer 1

1）∵每投入萬元，可獲得利潤P=（萬元），

∴當=60時，所獲利潤最大，最大值為41萬元。

∴若不進行開發(fā)，5年所獲利潤的最大值是：41×5=205（萬元）。

（2）前兩年：0≤≤40，此時因為P隨的增大而增大，

所以=40時，P值最大，

即這兩年的獲利最大為：2×[ ]=66（萬元）。

后三年：設每年獲利，設當?shù)赝顿Y額為，則外地投資額為100－，

∴=P+Q=[]+[]

=﹣²+60+129=﹣（﹣30）²+1029。

∴當=30時，y最大且為1029。

∴這三年的獲利最大為1029×3=3087（萬元）。

∴5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是：66+3087﹣50×2=3153（萬元）。

（3）規(guī)劃后5年總利潤為3153萬元，不實施規(guī)劃方案僅為205萬元，故具有很大的實施價值。

【考點】二次函數(shù)的應用（利潤問題）。