Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，拋物線過(guò)點(diǎn)B。

（1）若a＝－l，且拋物線與矩形有且只有三個(gè)交點(diǎn)B、D、E，求△ BDE的面積S的最大值；

（2）若拋物線與矩形有且只有三個(gè)交點(diǎn)B、M、N，線段MN的垂直平分線l過(guò)點(diǎn)C，交線段OA于點(diǎn)F。當(dāng)AF＝1時(shí)，求拋物線的解析式。

Answer 1

（1）∵a＝－l，∴。

又∵拋物線過(guò)點(diǎn)B(6，3)，∴，即。

∴

如圖① ，當(dāng)拋物線與矩形的兩個(gè)交點(diǎn)D、E分別在AB、OC邊上時(shí)， 拋物線與ｙ軸的交點(diǎn)應(yīng)落在原點(diǎn)或原點(diǎn)下方。

∴　當(dāng)x＝0時(shí)，y≤0。

∴，即。

由拋物線的對(duì)稱性可知： 。

 又∵ △ BDE的高＝BC＝3，∴ S＝。

∵ ＞0，∴ S隨b的增大而減少。

∴ 當(dāng)b＝時(shí)，S的最大值＝。

如圖② ，當(dāng)拋物線與矩形的兩個(gè)交點(diǎn)D、E分別在AB、AO邊上時(shí)，拋物線與直線x＝0的交點(diǎn)應(yīng)落在線段AO上且不與點(diǎn)A重合，即0≤＜3。

當(dāng)x＝0，則，∴ 0≤＜3，∴ 。

∴ AE＝。

∴ S＝BD·AE＝。

∵ ＜0，∴ S隨b的增大而增大。

∴ 當(dāng)b＝時(shí)，S的最大值＝。

綜上所述：S的最大值為。

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，符合題意要求的拋物線不存在。

               　　 當(dāng)a＜0時(shí)，符合題意要求的拋物線有兩種情況：

① 當(dāng)點(diǎn)M、N分別在AB、OC邊上時(shí)．

如圖③ ,過(guò)M點(diǎn)作MG⊥ OC于點(diǎn)G，連接CM，

                　　∴ MG＝OA＝3．∠2＋∠ MNＧ＝90°。

              　　  ∵ CF垂直平分MN．

∴ CM＝ＣN，∠1＋∠ MNＧ=90°，∠ 1＝∠ 2。

               　　 ∵　AF＝1，OF＝3－1＝2。

                　　∴　，。

∴　GN＝GM＝1。

設(shè)N(n，0)，則G(n＋1，0)，∴　M(n＋1，3)。 ∴　BM＝，CM＝CN＝。

在Rt△BCM中，，

                　　∴ ，解得n＝1�！唷�M(2，3)，N(1，0)。

把M(2，3)，N(1，0)，B(6，3)分別代入，得

，解得。

∴拋物線的解析式為。

設(shè)N(0，n)．則FN＝2－n，AN＝3一n�！郙F＝2－n，AM＝。

在Rt△MABF中，∵，∴。

解得： (不合題意舍去)，∴。

∴AM＝，∴　M(，3)，N(0，) 。

把M(，3)，N(0，)， B(6，3)分別代入，得

，解得　。

∴拋物線的解析式為。

綜上所述，拋物線的解析式為或。

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，解二元一次方程組。