Question

【題目】如圖，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=70°，以點(diǎn)O為圓心，6為半徑的優(yōu)弧 分別交OA、OB于點(diǎn)M，N．
（1）點(diǎn)P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°得OP′．求證：AP=BP′；
（2）點(diǎn)T在左半弧上，若AT與弧相切，求點(diǎn)T到OA的距離；
（3）設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧 上，當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí)，直接寫出∠BOQ的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，

∴∠AOP=∠BOP′，

∵在△AOP和△BOP′中

，

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP=BP′

（2）解：如圖1，連接OT，過點(diǎn)T作TH⊥OA于點(diǎn)H，

∵AT是⊙O的切線，

∴∠ATO=90°，

∴AT= = =8，

∵ ×OA×TH= ×AT×OT，

即 ×10×TH= ×8×6，

解得：TH= ，即點(diǎn)T到OA的距離為

（3）解：如圖2，當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ的面積最大；

理由：∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長(zhǎng)的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+70°=160°，

當(dāng)Q點(diǎn)在優(yōu)弧 右側(cè)上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長(zhǎng)的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ=∠AOQ﹣∠AOB=90°﹣70°=20°，

綜上所述：當(dāng)∠BOQ的度數(shù)為20°或160°時(shí)，△AOQ的面積最大

【解析】（1）首先根據(jù)已知得出∠AOP=∠BOP′，進(jìn)而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；（2）利用切線的性質(zhì)得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長(zhǎng)，進(jìn)而得出TH的長(zhǎng)即可得出答案；（3）當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點(diǎn)分別求出即可．