Question

如圖，開口向下的拋物線y=ax²-4ax-5a交x軸于A、B（A左B右）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，若S_△BCD=15，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，P、Q為線段BC上兩點(diǎn)（P左Q右，P、Q不與B、C重合），PQ=2

2

，在第一象限的拋物線上是否存在這的這樣的點(diǎn)R，使△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把y=0代入拋物線y=ax²-4ax-5a得x²-4x-5=0，解方程可以得到A（-1，0），B（5，0），再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到AB=6；
（2）根據(jù)對(duì)稱軸得到頂點(diǎn)D（2，-9a），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，根據(jù)S_△BCD=S_梯形EOBD-S_△CDE-S_△COB得到關(guān)于a的方程，求得a的值，即可得到拋物線的解析式；
（3）分三種情況：①以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)；②以點(diǎn)R為直角頂點(diǎn)；③以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)；進(jìn)行討論可得使△PQR為等腰直角三角形時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把y=0代入拋物線y=ax²-4ax-5a得ax²-4ax-5a=0，
∵a≠0，
∴兩邊同時(shí)除以a，得x²-4x-5=0，
解得x₁=5，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6．

（2）對(duì)稱軸的解析式為x=-

-4a

2a

=2
把x=2代入y=ax²-4ax-5a
y=-9a，
S_△PAC=S_△PAE+S_△PEC=

1

2

PE•OC=-t²+8t，
D（2，-9a），
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．

S_△BCD=S_梯形EOBD-S_△CDE-S_△COB
=

1

2

(DE+OB)•OE-

1

2

DE•CE-

1

2

OB•OC
=-15a
∵-15a=15，
∴a=-1
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x+5．

（3）分三種情況：
①以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)

∵PQ=2

2

，
∴RQ=

2

PQ=4
∵C（0，5），B（5，0），
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RQP=45°
∴RQ∥OC
可求得直線BC的解析式為y=-x+5，
設(shè)R（m，-m²+4m+5），則Q（m，-m+5）
則RQ=（-m²+4m+5）-（-m+5）=4
解得m₁=4，m₂=1，
∵點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)，
∴m=4，
∴R（4，5）；
②以點(diǎn)R為直角頂點(diǎn)

∵PQ=2

2

，
∴RQ=

2

2

PQ=2
設(shè)R（m，-m²+4m+5）則Q（m，-m+5）
則RQ=（-m²+4m+5）-（-m+5）=2
解得 m1=

5+ 17

2

，m2=

5- 17

2

，
∵點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)，
∴m=

5+ 17

2

∴R（

5+ 17

2

，

9- 17

2

）；
③以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)

∵PQ=2

2

∴PR=

2

PQ=4
∵C（0，5），B（5，0）
∴OC=OB=5
∴∠OCB=∠OBC=45°
∵∠RPQ=45°，
∴PR∥OB
設(shè)R（m，-m²+4m+5），則P（m-4，-m²+4m+5），
把P（m-4，-m²+4m+5）代入y=-x+5，得-（m-4）+5=-m²+4m+5
解得m₁=4，m₂=1，
此時(shí)點(diǎn)P（0，5）
因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，且不與B、C重合，所以不存在以Q為直角頂點(diǎn)的情況．
綜上所述：當(dāng) R（4，5）或（

5+ 17

2

，

9- 17

2

）時(shí)，△PQR為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間的距離公式，拋物線的對(duì)稱軸，面積計(jì)算，求拋物線的解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及分類思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．