Question

【題目】旋轉(zhuǎn)變換是全等變換的一種形式，我們在解題實踐中經(jīng)常用旋轉(zhuǎn)變換的方法來構造全等三角形來解決問題。

（1）方法探究：如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E在邊BC上，∠DAE=45°

試探究線段BD、CE、DE可以組成什么樣的三角形。我們可以過點B作BF⊥BC，使BF=EC，連接AF、DF，易得∠AFB=45°進而得到△AFB≌△AEC，相當于把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB，請接著完成下面的推理過程：

∵△AFB≌△AEC，

∴∠BAF= ，AF=AE，

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠CAE= ，

∴∠BAF+∠BAD=45°，

∴∠DAF=45°= ，

在△DAF與△DAE中，

AF=AE，

∠DAF=∠DAE，

AD=AD，

∴△DAF≌△DAE，

∴DF= ，

∵BD、BF、DF組成直角三角形，

∴BD、CE、DE組成直角三角形.

（2）方法運用

① 如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，點E在邊BC上，點F在邊CD上，∠EAF=45°試判斷線段BE、DF、EF之間的數(shù)量關系，并說明理由。

② 如圖③，在①的基礎上若點E、F分別在BC和CD的延長線，其他條件不變，①中的關系在圖③中是否仍然成立？若成立請說明理由；若不成立請寫出新的關系，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）∠CAE ， 45°，∠DAE ， DE ；（2）①EF=BE+DF；②①中關系不成立,EF=BE-DF.

【解析】

(1) 作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，根據(jù)SAS證得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代換即可解答；

(2) 延長CD到G，使DG=BE，證得△ABE≌△ADG,可得AE=AG，∠EAB=∠DAG,可得∠EAF=∠GAF,進而可得△AEF≌△AGF,所以得GF=EF得到EF=BE+DF;

(3) 延長CD到G，使DG=BE，證得△ABE≌△ADG,可得AE=AG，∠DAG=∠EAB=90°-∠DAE,進而可得△AEF≌△AGF,所以得GF=EF,EF=BE-DF .

（1）∠CAE ， 45°，∠DAE ， DE ；

（2）①EF=BE+D.

理由：

延長CD到G，使DG=BE，

則∠ADG+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠ADC=180°

∴∠ABC=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

DG=BE

∠ABC=∠ADG

AB=AD

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠EAB=∠DAG,

∴∠EAF=∠GAF=45°,

∴△AEF≌△AGF,

∴GF=EF.

②.①中關系不成立,EF=BE-DF.

理由:

延長CD到G，使DG=BE，

證得△ABE≌△ADG,

可得AE=AG，∠DAG=∠EAB=90°-∠DAE,

∵∠DAF=45°-∠DAE,

∴∠GAF=∠DAG-∠DAF=（90°-∠DAE）-（45°-∠DAE）=45°=∠EAF,

∴△AEF≌△AGF,

∴GF=EF,

∵GF=DG-DF,

∴EF=BE-DF .