【題目】等腰Rt△ABC,點D為斜邊AB上的中點,點E在線段BD上,連結(jié)CD,CE,作AH⊥CE,垂足為H,交CD于點G,AH的延長線交BC于點F.
(1)求證:△ADG≌△CDE.
(2)若點H恰好為CE的中點,求證:∠CGF=∠CFG.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件可得出AD=CD=BD,∠CGH+∠GCH=∠AGD+∠GAD=90°,繼而得出∠GAD=∠GCH,從而結(jié)論得以證明.
(2)由已知條件可得,∠CAH=∠EAH,繼而得出∠AGD=∠=CGH=∠CFG.
解:(1)在等腰Rt△ABC中,
∵ 點D為斜邊AB上的中點
∴ CD=AB,CD⊥AB
∵AD=AB
∴AD=CD
∵ CD⊥AB
∴ ∠ADG=∠CDE=90°
∵AH⊥CE
∴∠CGH+∠GCH=90°
∵∠AGD+∠GAD=90°
又∵∠AGD=∠CGH
∴∠GAD=∠GCH
在△△ADG和△CDE中
∵∠ADG=∠CDE=90°,AD=CD,∠GAD=∠GCH
∴△ADG≌△CDE…
(2)∵AH⊥CE,點H為CE的中點
∴AC=AE
∴∠CAH=∠EAH
∵∠CAH+∠AFC=90°
∠EAH+∠AGD=90°
∴∠AFC=∠AGD
∵∠AGD=∠CGH
∴∠AFC=∠CGH
即∠CGF=∠CFG.
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【題目】如圖,在已知中,分別是的中點,求證.
利用第題的結(jié)論,解決下列問題:
如圖,在四邊形中,,點分別在上,點分別為的中點,連接,求長度的最大值.
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【題目】如圖,有若干個邊長為2的正方形,若正方形的一個頂點是正方形Ⅰ的中心O1,如圖所示,類似的正方形Ⅲ的一個頂點是正方形Ⅱ的中心O2,并且正方形Ⅰ與正方形Ⅲ不重疊,如果若干個正方形都按這種方法拼接,需要m個正方形能使拼接處的圖形的陰影部分的面積等于一個正方形的面積.現(xiàn)有一拋物線y=mx2+nx+3,其頂點在x軸上,則該拋物線的對稱軸為_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中AD⊥BC,垂足為D,交y軸于點H,直線BC的解析式為y=-2x+4.點H(0,2),
(1)求證:△AOH≌△COB;
(2)求D點的坐標(biāo).
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【題目】如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上且OP=4,∠AOB=60°,過點P的動直線DE交OA于D,交OB于E,那么=_____.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD,CE分別是AB邊上的中線和高.
(1)求證:AE=ED;
(2)若AC=2,求△CDE的周長.
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【題目】為營造濃厚的創(chuàng)建全國文明城市氛圍,東營市某中學(xué)委托制衣廠制作“最美東營人”和“最美志愿者”兩款文化衫.若制作“最美東營人”文化衫2件,“最美志愿者”文化衫3件,共需90元;制作“最美東營人”文化衫3件,“最美志愿者”5件,共需145元.
(1)求“最美東營人”和“最美志愿者”兩款文化衫每件各多少元?
(2)若該中學(xué)要購進“最美東營人”和“最美志愿者”兩款文化衫共90件,總費用少于1595元,并且“最美東營人”文化衫的數(shù)量少于“最美志愿者”文化衫的數(shù)量,那么該中學(xué)有哪幾種購買方案?
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【題目】如圖,O是正△ABC內(nèi)一點,OA=6,OB=8,OC=10,將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO',下列結(jié)論:①△BO'A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到;②點O與O′的距離為6;③∠AOB=150°;④S△BOC=12+6; ⑤S四邊形AOBO′=24+12.其中正確的結(jié)論是_____.(填序號)
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