Question

如圖，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點，G為弧EF上的一點，請判斷∠EGF與∠BOC是否相等，并說明理由．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：利用切線的性質(zhì)得出∠BOD=∠BDF，同理可得：∠COD=∠CDE，再利用四點共圓的性質(zhì)求出即可．

解答：解：∠EGF=∠BOC，
理由：連接OD、ED、DF
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴BD=BF，∠OBF=∠OBD，
∴OB⊥DF，
∴∠BDF=90°-∠OBD，
∵BD切⊙O于點D，OD是⊙O半徑，
∴OD⊥BC，
∴∠BOD=90°-∠OBD，
∴∠BOD=∠BDF，
同理可得：∠COD=∠CDE，
即∠BOC=∠BOD+∠COD=∠BDF+∠CDE，
∵∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
∴∠BOC+∠EDF=180°，
∵D、E、G、F四點共圓，
∴∠EGF+∠EDF=180°，
∴∠EGF=∠BOC．

點評：此題主要考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心以及四點共圓，得出：∠COD=∠CDE，∠BOD=∠BDF是解題關(guān)鍵．