Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上（OA＜OB），且OA、OB的長分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個根．線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，交x軸于點D，點P是直線CD上一個動點，點Q是直線AB上一個動點．
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）求直線CD的解析式；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為

1

2

AB長？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一元二次方程的解,一次函數(shù)綜合題,正方形的性質(zhì),相似三角形的判定

專題：綜合題

分析：（1）利用因式分解法解方程x²-14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB=

OA2+OB2

=10，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC=

1

2

AB=5．再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△ACD∽△AOB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

AD

AB

=

AC

AO

，求出AD=

25

3

，得到D點坐標(biāo)（-

7

3

，0），根據(jù)中點坐標(biāo)公式得出C（3，4），然后利用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式；
（3）分兩種情況進行討論：①當(dāng)點Q與點B重合時，先求出BM的解析式為y=

3

4

x+8，設(shè)M（x，

3

4

x+8），再根據(jù)BM=5列出方程（

3

4

x+8-8）²+x²=5²，解方程即可求出M的坐標(biāo)；②當(dāng)點Q與點A重合時，先求出AM的解析式為y=

3

4

x-

9

2

，設(shè)M（x，

3

4

x-

9

2

），再根據(jù)AM=5列出方程（

3

4

x-

9

2

）²+（x-6）²=5²，解方程即可求出M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0，
得x₁=6，x₂=8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∵線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，
∴AC=

1

2

AB=5．
在△ACD與△AOB中，

∠CAD=∠OAB ∠ACD=∠AOB=90°

，
∴△ACD∽△AOB，
∴

AD

AB

=

AC

AO

，即

AD

10

=

5

6

，
解得AD=

25

3

，
∵A（6，0），點D在x軸上，
∴D（-

7

3

，0）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
由題意知C為AB中點，
∴C（3，4），
∵D（-

7

3

，0），
∴

3k+b=4 - 7 3 k+b=0

，解得

k= 3 4 b= 7 4

，
∴直線CD的解析式為y=

3

4

x+

7

4

；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為

1

2

AB長．
∵AC=BC=

1

2

AB=5，
∴以點C、P、Q、M為頂點的正方形的邊長為5，且點Q與點B或點A重合．分兩種情況：
①當(dāng)點Q與點B重合時，易求BM的解析式為y=

3

4

x+8，設(shè)M（x，

3

4

x+8），
∵B（0，8），BM=5，
∴（

3

4

x+8-8）²+x²=5²，
化簡整理，得x²=16，
解得x=±4，
∴M₁（4，11），M₂（-4，5）；
②當(dāng)點Q與點A重合時，易求AM的解析式為y=

3

4

x-

9

2

，設(shè)M（x，

3

4

x-

9

2

），
∵A（6，0），AM=5，
∴（

3

4

x-

9

2

）²+（x-6）²=5²，
化簡整理，得x²-12x+20=0，
解得x₁=2，x₂=10，
∴M₃（2，-3），M₄（10，3）；
綜上所述，所求點M的坐標(biāo)為M₁（4，11），M₂（-4，5），M₃（2，-3），M₄（10，3）．

點評：本題是一次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．