Question

如圖，以△ABC的邊AB上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，且與邊AB相交于點(diǎn)E，D是弧BE的中點(diǎn)，CD交AB于F，AC=AF．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若EF=5，DF=

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，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD、OC，如圖，根據(jù)垂徑定理的推論，由D是弧BE的中點(diǎn)得到OD⊥BE，則∠D+∠3=90°，而∠3=∠2，所以∠D+∠2=90°，再利用AF=AC，OD=OC，得到∠1=∠2，∠D=∠4，易得∠1+∠4=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OF=OE-EF=r-5，在Rt△ODF中，根據(jù)勾股定理得r²+（r-5）²=（

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）²，然后解方程即可得到圓的半徑．

解答：（1）證明：連結(jié)OD、OC，如圖，
∵D是弧BE的中點(diǎn)，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠3=90°，
∵∠3=∠2，
∴∠D+∠2=90°，
∵AF=AC，OD=OC，
∴∠1=∠2，∠D=∠4，
∴∠1+∠4=90°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
則OF=OE-EF=r-5，
在Rt△ODF中，
∵OD²+OF²=DF²，
∴r²+（r-5）²=（

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）²，
整理得r²-5r-6=0，
解得r₁=6，r₂=-1，
∴，⊙O的半徑為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．