Question

14．如圖，直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，點C的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．
（2）在坐標(biāo)軸上求一點P，使△BCP為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）分三種情形討論，確定點D的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點P在x軸上時，設(shè)出P的坐標(biāo)（x，0），寫出PC的長，根據(jù)勾股定理可計算出BC、BP的長，利用勾股定理求出x；同理求出點P在y軸上的坐標(biāo)．

解答 （1）解：BC為對角線時，D（-2，3），
AC為對角線時，D（4，-3），
AB為對角線時，D（2，3）
∴D（4，-3）或（-2，3）或（2，3）．

（2）假設(shè)在x軸的負半軸上有點P，其坐標(biāo)為（x，0）即OP=-x，
∴BP=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$．
∵OB=3，OC=1，
∴BC=$\sqrt{10}$，PC=1-x．
由勾股定理：BC²+BP²=PC²，
∴10+x²+3²=（x-1）²，
解得x=-9．
即點P（-9，0）；
假設(shè)在y軸的負半軸上有點P，其坐標(biāo)為（0，x）即OP=-x，
∴CP=$\sqrt{{1}^{2}+{x}^{2}}$．
∵OB=3，OC=1，
∴BC=$\sqrt{10}$，PO=3-x．由勾股定理：BC²+CP²=PB²，
∴10+x²+1²=（3-x）²，
解得x=-$\frac{1}{3}$．即
點P（0，-$\frac{1}{3}$）．
當(dāng)P與原點重合時，△PBC是直角三角形，此時P（0，0），
綜上所述，滿足條件的點P坐標(biāo)（-9，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）或（0，0）．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、兩點間的距離公式．注意滿足條件的四邊形的點D有兩個；滿足軸上的點P有兩個，一個在x軸的負半軸上，一個在y軸的負半軸上，注意別漏解．