Question

如果方程x²+px+q=0的兩個根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：
（1）已知關(guān)于x的方程x²+mx+n=0（n≠0），求出一個一元二次方程，使它的兩根分貝是已知方程兩根的倒數(shù)；
（2）已知a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值；
（3）已知a、bc均為實數(shù)，且a+b+c=0，abc=16．
①求出一個含字母系數(shù)c的一元二次方程，使它的兩根分別為a、b．
②求出整數(shù)c的最小值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題

分析：（1）設(shè)方程x²+mx+n=0（n≠0）的兩根分別為a、b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=-m，ab=n，再計算出

1

a

+

1

b

=-

m

n

，

1

a

•

1

b

=

1

n

，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出新方程；
（2）分類討論：當(dāng)a=b時，易得

a

b

+

b

a

═2；當(dāng)a≠b時，則a、b可看作方程x²-15x-5=0的兩實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=15，ab=-5，再利用完全平方根是變形得到

a

b

+

b

a

=

(a+b)2-2ab

ab

，然后利用整體代入的方法計算；
（3）①由于a+b+c=0，abc=16，則a+b=-c，ab=

16

c

，于是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得兩根分別為a、b的一元二次方程為x²+cx+

16

c

=0；
②利用根的判別式的意義得到△=c²-4×

16

c

≥0，解得c≥4，所以整數(shù)c的最小值為4．

解答：解：（1）設(shè)方程x²+mx+n=0（n≠0）的兩根分別為a、b，
則a+b=-m，ab=n，
所以

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

=-

m

n

，

1

a

•

1

b

=

1

n

，
所以所求新方程為x²-（-

m

n

）+

1

n

=0，
整理得nx²+mx+1=0；
（2）當(dāng)a=b時，

a

b

+

b

a

=1+1=2；
當(dāng)a≠b時，a、b可看作方程x²-15x-5=0的兩實數(shù)根，則a+b=15，ab=-5，
所以

a

b

+

b

a

=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

152-2×(-5)

-5

=-47，
即

a

b

+

b

a

的值為2或-47；
（3）①∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=

16

c

，
∴兩根分別為a、b的一元二次方程可為x²+cx+

16

c

=0；
②∵△=c²-4×

16

c

≥0，
∴c³≥64，解得c≥4，
∴整數(shù)c的最小值為4．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．