Question

已知：如圖，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與直線相交于點(diǎn)P(2，)．

(1)請(qǐng)判斷的形狀并說明理由．

(2)動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著O→P→A的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)(E不與點(diǎn)O、A重合)，過點(diǎn)E分別作EF⊥軸于F，EB⊥軸于B．設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．

求：① S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

② 當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，并求S的最大值

 

Answer 1

（1）△POA是等邊三角形；

(2)①當(dāng)0<t≤4時(shí)，S=，當(dāng)4<t<8時(shí)，S=－+4t－8；②當(dāng)t=時(shí)，S最大=．

【解析】

試題分析：（1）由兩直線相交可列出方程組，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將y=0代入y=﹣x+4，可求出OA=4，作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2，利用tan∠POA=，可知∠POA=60°，由OP=4．可知△POA是等邊三角形；

（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，在Rt△EOF中，∠EOF=60°，OE=t，可以求出EF，OF，從而得到S；

②分情況討論當(dāng)0<t≤4時(shí)，t=4時(shí)，當(dāng)4<t<8時(shí)，S的值，最終求出最大值．

試題解析：

△POA是等邊三角形．理由：

將代入

，

∴ ，即OA=4

作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2，

∵ tan∠POA= ，

∴ ∠POA=60°，

∵ OP=

∴△POA是等邊三角形 ；

(2)① 當(dāng)0<t≤4時(shí)，如圖1

在Rt△EOF中，

∵∠EOF=60°，OE=t

∴EF=t，OF=t

∴S=·OF·EF=

當(dāng)4<t<8時(shí)，如圖2

設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C，

易知：CE=PE=t－4，AE=8－t，

∴AF=4－，EF=(8－t)，

∴OF=OA－AF=4－(4－t)=t，

∴S=(CE+OF)·EF，

=(t－4+t)×(8－t)，

=－+4t－8 ；

② 當(dāng)0<t≤4時(shí)，S=， t=4時(shí)，S最大=2

當(dāng)4<t<8時(shí)，S=－+4t－8=－(t－)+

t=時(shí)，S最大=

∵>2，

∴當(dāng)t=時(shí)，S最大=．

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題．