Question

在平面直角坐標系中，已知A，B兩點分別在x軸，y軸上，OA=OB=4，C在線段OA上，AC=3，過點A作AE⊥BC，交BC的延長線于E，直線AE交y軸于D．
（1）求點D坐標．
（2）動點P從點A出發(fā)，沿射線AO方向以每秒1個單位長度運動，設點P的運動時間為t秒，△POB的面積為y，求y與t之間的函數關系式并直接寫出自變量的取值范圍．
（3）在（2）問的條件下，當t=1，PB=5時，在y軸上是否存在一點Q，使△PBQ為以PB為腰的等腰三角形？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數法求得直線BC的解析式，然后根據AD與AC垂直，即可求得直線AC的一次項系數，即可求得AD的解析式，進而求得D的坐標；
（2）分0≤t＜4和t＞4兩種情況，利用三角形的面積公式即可求解；
（3）分B是頂角的頂點和P是頂角頂點兩種情況討論，根據等腰三角形的定義即可求解．

解答：解：（1）∵OA=4，AC=3，
∴OC=OA-AC=4-3=1，則C的坐標是（1，0），
設直線BC的解析式是y=kx+b，
根據題意得：

b=4 k+b=0

，
解得：

b=4 k=-4

，
則直線BC的解析式是y=-4x+4．
設直線AD的解析式是：y=

1

4

x+c，把A（4，0）代入得：1+c=0，
解得：c=-1，
則直線AD的解析式是y=

1

4

x-1．
令x=0，解得：y=-1，
則D的坐標是（0，-1）；
（2）當0≤t＜4時，OP=4-t，則y=

1

2

OP•OB=

1

2

×4×（4-t）=8-2t；
當t＞4時，OP=t-4，則y=

1

2

OP•OB=

1

2

×4×（t-4）=2t-8；
（3）當B是頂角的頂點時，當Q在B的上邊時，BQ=BP=5，則OQ=5+4=9，則Q的坐標是（0，9），當Q在B的下方時，OQ=5-4=1，
則Q的坐標是（0，-1）；
當P是頂角頂點時，則Q和B關于x軸對稱，則Q的坐標是（0，-4）．
總之，Q的坐標是：（0，9）或（0，-1）或（0，-4）．

點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式，以及直線垂直的條件，正確進行討論是解決本題的關鍵．