Question

如圖，等邊△ABC，AB=4，點(diǎn)P是射線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，作BP的垂直平分線交線段BD于點(diǎn)D，交射線BA于點(diǎn)Q，分別聯(lián)結(jié)PD，PQ．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
①求∠DPQ的度數(shù)，并求證：△DCP∽△PAQ；
②設(shè)CP=x，AQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（2）如果△PCD是等腰三角形，求△APQ的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,三角形的外角性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BD=PD，BQ=PQ，即可證到△BDQ≌△PDQ，從而有∠DPQ=∠DBQ=60°；易證∠APQ=∠CDP，∠DCP=∠QAP，就可證到△DCP∽△PAQ；
②利用△DCP∽△PAQ可求出CD、BD（用x、y的代數(shù)式表示），然后根據(jù)CD+BD=BC=4就可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式，然后根據(jù)x、y均為正數(shù)可求出x的范圍；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠DCP=120°，由△PCD是等腰三角形，可得CP=CD，由此可得到y(tǒng)=x+4，把它代入函數(shù)關(guān)系式，就可求出x的值，從而可求出CP、AP、AQ的值，就可求出△APQ的面積；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，∠C=60°，由△PCD是等腰三角形可得△PCD是等邊三角形，從而有∠BDP=120°，進(jìn)而可求出
∠DPB=30°，∠BPC=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AP=CP=2．由△DCP∽△PAQ，△PCD是等邊三角形可得△APQ也是等邊三角形，就可求出△APQ的面積．

解答：解：（1）①如圖1，
∵DQ是線段BP的中垂線，
∴BD=PD，BQ=PQ．
在△BDQ和△PDQ中，

BD=PD BQ=PQ DQ=DQ

，
∴△BDQ≌△PDQ（SSS），
∴∠DPQ=∠DBQ=60°，
∴∠CPD+∠APQ=60°．
又∵∠ACB=∠CDP+∠CPD=60°，
∴∠APQ=∠CDP．
又∵∠DCP=∠QAP=120°，
∴△DCP∽△PAQ；
②∵△DCP∽△PAQ，
∴

CD

AP

=

CP

AQ

=

DP

PQ

，
∴

CD

x+4

=

x

y

=

BD

4+y

，
∴CD=

x2+4x

y

，BD=

4x+xy

y

，
∵BC=BD+CD=4，
∴

4x+xy

y

+

x2+4x

y

=4，
整理得：y=

x2+8x

4-x

．
∵x＞0，y＞0，∴0＜x＜4．
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

x2+8x

4-x

，它的定義域?yàn)?＜x＜4；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠DCP=120°．
∴當(dāng)△PCD是等腰三角形時(shí)，CD=CP，
∴

x2+4x

y

=x，
∴y=x+4，
∴

x2+8x

4-x

=x+4，
解得：x₁=-2-2

3

（舍去），x₂=-2+2

3

，
∴CP=-2+2

3

，
∴AQ=AP=AC+CP=4-2+2

3

=2+2

3

．
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP，交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖2，
∴S_△APQ=

1

2

AP•QH=

1

2

AP•AQ•sin∠HAQ
=

1

2

×（2+2

3

）²×

3

2

=4

3

+6；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，∠C=60°，
∴當(dāng)△PCD是等腰三角形時(shí)，△PCD是等邊三角形，
∴∠BDP=120°．
又∵BD=DP，
∴∠DBP=∠DPB=30°，
∴∠BPC=90°，即BP⊥AC．
∵BC=BA，
∴AP=CP=2．
∵△DCP∽△PAQ，△PCD是等邊三角形，
∴△APQ是等邊三角形，
∴AP=AQ．
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP于H，如圖3，
∴S_△APQ═

1

2

AP•QH=

1

2

AP•AQ•sin∠HAQ=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用（1）中結(jié)論求出CD、BD（用x、y的代數(shù)式表示），并利用CD+BD=BC=4建立等式是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．