Question

如圖1，正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)A、D在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3

3

），點(diǎn)F在AD上，且AF=3，過(guò)點(diǎn)F且平行于y軸的線段EF與BC交于點(diǎn)E，現(xiàn)將正方形一角折疊，使頂點(diǎn)B落在EF上，并與EF上的點(diǎn)G重合，折痕為HI，且知EG=

3

，H（5，3

3

），點(diǎn)J為折痕HI所在的直線與x軸的交點(diǎn)．
（1）求折痕HI所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在線段HI上，當(dāng)△PGI為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并寫(xiě)出解答過(guò)程．
（3）①如圖2，在y軸上有一點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（0，-2k），作直線JQ，另有一直線y=

k

2

x-

k

2

，兩直線交于點(diǎn)S，請(qǐng)證明點(diǎn)S在正方形ABCD的AB邊所在直線上；
②在①中，在直線y=

k

2

x-

k

2

上有一點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為-1，那么請(qǐng)問(wèn)

QS-QR

JS

的值為定值嗎？若是定值則求出其值，若不是則說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)HI所在直線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，把H（5，3

3

）代入，用k表示b，由點(diǎn)B到HI的距離為

3

，列出方程求出k的值，則HI所在直線的函數(shù)表達(dá)式可求，
（2）根據(jù)（1）可得BG的方程，由I的坐標(biāo)求G的坐標(biāo)，設(shè)P（t+2，

3

t），然后分別求出當(dāng)PG=PI時(shí)，PG=PI時(shí)，當(dāng)PG=PI時(shí)三種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3））①由（1）得J（2，0），結(jié)合Q（0，-2k），求得JQ：y=k（x-2）與直線2y=k（x-1）聯(lián)立，即得S的坐標(biāo)，從而說(shuō)明S在直線AB所在直線上②求出Q，J，S，R的坐標(biāo)，再求得QS=3

1+k2

，QR=

1+k2

，JS=

1+k2

，即可得

QS-QR

JS

為定值．

解答：解：（1）設(shè)HI所在直線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，
∵直線過(guò)H（5，3

3

），則3

3

=5k+b，即b=3

3

-5k，
∵BG=2

3

，
∴點(diǎn)B到HI的距離為

3

，即

3

•

k2+1

=|3k+b-3

3

|=|3k++3

3

-5k-3

3

|，
兩邊平方得3k²+3=4k²，即k=±

3

，k=-

3

不合題意舍去，
∴HI所在直線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=

3

x-2

3

，
（2）根據(jù)（1）可得BG：y=4

3

-

3

3

x，I（3，

3

），
∴G（6，2

3

），
設(shè)P（t+2，

3

t），則
當(dāng)PG=PI時(shí)，（t-4）²+3（t-2）²=（t-1）²+3（t-1）²，解得t=2，P₁（4，2

3

），
當(dāng)PG=PI時(shí)，（t-4）²+3（t-2）²=（6-3）²+（

3

）²，解得t=4或t=1（舍去，與I點(diǎn)重合），P₂（6，4

3

），
當(dāng)PG=PI時(shí)，（t-1）²+3（t-1）²=（6-3）²+（

3

）²，解得t=1-

3

或1+

3

，
∴P₃（3-

3

，-3+

3

），P₄（3+

3

，3+

3

）．
（3）①由（1）得J（2，0），
∵Q（0，-2k），直線2y=k（x-1），
∴JQ：y=k（x-2）與直線2y=k（x-1）聯(lián)立，即得S（3，k），
∴S在直線AB所在直線上
②∵Q（0，-2k），J（2，0），S（3，k），R（-1，-k）．
QS=3

1+k2

，QR=

1+k2

，JS=

1+k2

，
∴

QS-QR

JS

=

3 1+k2 - 1+k2

1+k2

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是分類討論數(shù)學(xué)思想方法，正確理解題意．