Question

點D為Rt△ACB邊BC延長線上一點，點E在邊AC上，點M、N分別為線段AB、AE的中點，連接DE、DA，∠ACB=90°，∠B=∠CED．
（1）若∠B=45°，如圖1，求證：MN=

1

2

AD；
（2）在（1）的條件下，連接BE并延長BE交線段AD于點F，連接FC，如圖2，請你判斷線段FE、FC與線段FD之間的數(shù)量關系為

 

；
（3）在（2）的條件下，如圖3，連接DE交FC于點G，若MN：DE=

5

：2，四邊形MNEB的面積為

9

2

，求GE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)已知條件求得BC=AC，CE=CD，然后證明△BCE≌△ACD得出BE=AD，因為MN是三角形ABE的中位線，MN=

1

2

BE，所以MN=

1

2

AD；
（2）先證得A、B、C、F共圓，再證△AEB∽△FEC，△FCD∽△BDA，得出FE=

AE

AB

•FC，F(xiàn)D=

BD

AB

•FC，因為AE+BD=AC-EC+BC+CD=2AC，AB=

2

AC，所以

AE+BD

AB

=

2AC

AB

=

2AC

2 AC

=

2

，進而證得FE+FD=

AE+BD

AB

•FC=

2AC

AB

•FC=

2AC

2 AC

•FC=

2

FC=

2

FC；
（3）根據(jù)MN：DE=

5

：2，設MN=

5

a，DE=2a，進而求得BE=2

5

a，EC=

2

a，BC=3

2

a，根據(jù)三角形面積的比等于相似比的平方結合四邊形MNEB的面積為

9

2

，求得a=1，進而求得BE=2

5

，EC=CD=

2

，BC=3

2

，ED=2，AE=2

2

，EF=

2 5

5

，AF=

6 5

5

，DF=

4 5

5

，通過△AEF∽△ADC，得出AE：AF=AD：AC，再根據(jù)對應邊成比例且夾角相等的三角形相似證得△AED∽△AFC，得出∠ACF=∠ADE，進而得出∠CEG=∠CFD=45°，∠EFC=45°，作EP⊥FC，DQ⊥FC，根據(jù)勾股定理求得EP，DQ的長，最后根據(jù)△EGP∽△DGQ，對應邊成比例即可求得GE的長．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=∠CED，∠B=45°，
∴BC=AC，CE=CD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD=90° CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，
∵點M、N分別為線段AB、AE的中點，
∴MN=

1

2

BE，
∴MN=

1

2

AD；

（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠EAF，
∵∠BEC=∠AEF，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴A、B、C、F共圓，
∴∠ABF=∠ACF，
∵∠AEB=∠FEC，
∴△AEB∽△FEC，
∴FE：AE=FC：AB，
∴FE=

AE

AB

•FC，
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠FCD+∠ACF=90°，
∴∠FCD=∠BAD，
∵∠FDC=∠BDA，
∴△FCD∽△BDA，
∴FD：BD=FC：AB，
∴FD=

BD

AB

•FC
∴FE+FD=

AE+BD

AB

•FC，
∵AC=BC，CE=CD，
∴AE+BD=AC-EC+BC+CD=2AC，
∵在RT△ABC中，AB=

2

AC，
∴

AE+BD

AB

=

2AC

AB

=

2AC

2 AC

=

2

，
∴FE+FD=

2

FC；

（3）∵MN：DE=

5

：2，
∴設MN=

5

a，DE=2a，
∴BE=2MN=2

5

a，EC=

2

2

ED=

2

a，
∴BC=

BE2-EC2

=3

2

a，
∵MN=

1

2

BE，
∴

S△AMN

S△ABE

=

1

4

，
∴

S△AMN

S四邊形MNEB

=

1

3

，
又∵四邊形MNEB的面積為

9

2

，
∴S_△ABE=6，
∵S_△BCE=

1

2

BC•EC=

1

2

×3

2

a×

2

a=3a²，S_△ABC=

1

2

BC²=9a²，S_△ABE+S_△BCE=S_△ABC，
∴6+3a²=9a²，解得：a=1，
∴BE=2

5

，EC=CD=

2

，BC=3

2

，ED=2，
∴AE=2

2

，EF=

2 5

5

，AF=

6 5

5

，DF=

4 5

5

，
∵∠AFE=∠ACD=90°，∠EAF=∠DAC，
∵△AEF∽△ADC，
∴AE：AF=AD：AC，
∵∠FAC=∠EAD，
∴△AED∽△AFC，
∴∠ACF=∠ADE，
∴∠CEG=∠CFD=45°，
∵∠BFD=90°，
∴∠EFC=45°，
作EP⊥FC，DQ⊥FC
∴EP=

2

2

EF=

2

2

×

2 5

5

=

10

5

，DQ=

2

2

DF=

2

2

×

4 5

5

=

2 10

5

，
∴△EGP∽△DGQ，
∴EP：DQ=EG：DG=1：2，
∴EG=

1

3

ED=

1

3

×2=

2

3

，
所以EG=

2

3

；

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質、三角形的中位線定理、三角形相似的判定和性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理的應用等，本題的關鍵是熟練掌握三角形全等的性質定理和判定定理以及三角形相似的判定定理．