Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是正方形，已知點C的坐標(biāo)為（

3

，1）．求點A和點B的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E，根據(jù)點C的坐標(biāo)求出OE、CE，再利用“角角邊”證明△AOD和△OCE全等，根據(jù)全等三角形的可得OD=CE，AD=OE，然后寫出點A的坐標(biāo)即可；設(shè)AB與y軸相交于點F，過點B作BG⊥y軸與G，求出∠DAO=30°，再利用勾股定理求出OA，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠AOF=30°，解直角三角形求出AF、OF，再求出BF，然后解直角三角形求出BG、GF，然后求出OG，再寫出點B的坐標(biāo)即可．

解答：解：如圖，過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E，
∵C點坐標(biāo)為（

3

，1），
∴OE=

3

，CE=1，
∵四邊形ABCO是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵∠AOD+∠COE=90°，
∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠COE，
在△AOD和△OCE中，

∠DAO=∠COE ∠ADO=∠OEC=90° OA=OC

，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OD=CE=1，AD=OE=

3

，
∴點A（-1，

3

）；
設(shè)AB與y軸相交于點F，過點B作BG⊥y軸與G，
∵tan∠DAO=

1

3

=

3

3

，
∴∠DAO=30°，
由勾股定理得，OA=

AD2+OD2

=

( 3 )2+12

=2，
∵AD∥y軸，
∴∠AOF=∠DAO=30°，
∴AF=AD•tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

，
OF=2÷cos30°=2÷

3

2

=

4 3

3

，
∴BF=2-

4 3

3

，
在Rt△BGF中，BG=BF•cos30°=（2-

4 3

3

）×

3

2

=

3

-2，
GF=BF•sin30°=（2-

4 3

3

）×

1

2

=1-

2 3

3

，
∴OG=OF+GF=

4 3

3

+1-

2 3

3

=1+

2 3

3

，
∴點B的坐標(biāo)為（

3

-2，1+

2 3

3

）．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．