Question

如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，AD平分∠BAC交⊙O于D，過點D作EF∥BC分別交AB、AC延長線于點E、F．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若EB=2，ED=4，求AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結OD，根據(jù)角平分線定義得∠BAD=∠CAD，根據(jù)圓周角定理得

BD

=

CD

，則根據(jù)垂徑定理的推論得OD⊥BC，由于BC∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OD⊥EF，于是可根據(jù)切線的性質(zhì)可得到EF為⊙O的切線；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)由BC∥EF得到∠EDB=∠DBC，而

BD

=

CD

，根據(jù)圓周角定理得∠DBC=∠BAD，則可證明△EDB∽△EAD，然后根據(jù)相似比可計算出AE，再利用AB=AE-EB進行計算．

解答：（1）證明：連結OD，如圖，
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF為⊙O的切線；
（2）解：∵BC∥EF，
∴∠EDB=∠DBC，
而

BD

=

CD

，
∴∠DBC=∠BAD，
∴∠EDB=∠EAD，
而∠DEB=∠AED，
∴△EDB∽△EAD，
∴

ED

EA

=

EB

ED

，即

4

AE

=

2

4

，
∴AE=8
∴AB=AE-EB=6．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理和垂徑定理．