Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-5與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于點(diǎn)A（m，1）
（1）求雙曲線的解析式．
（2）將直線向上平移（如圖），交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，與雙曲線交于點(diǎn)D，且CD=2BC，求平移后直線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,一次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計(jì)算題

分析：（1）先利用一次函數(shù)解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），然后把把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

k

x

可計(jì)算出k的值，從而得到反比例函數(shù)解析式；
（2）作DE⊥x軸于E點(diǎn)，根據(jù)兩直線平行的問(wèn)題可設(shè)平移后直線解析式為y=x+m，以得B（-m，0），C（0，m），所以△BOC和△DBE是等腰直角三角形，則BE=DE，再由OC∥DE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得BO：OE=BC：CD，而CD=2BC，所以O(shè)E=2OB=2m，則DE=BE=OB+OE=3m，可得到D點(diǎn)坐標(biāo)（2m，3m），然后把D（2m，3m）代入y=

6

x

得2m•3m=6，解方程得到滿足條件的m的值，從而得到平移后的直線解析式．

解答：解：（1）把（m，1）代入y=x-5得m-5=1，解得m=6，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），
把A（6，1）代入y=

k

x

得k=6×1=6，
所以反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；
（2）作DE⊥x軸于E點(diǎn)，如圖，
設(shè)平移后直線解析式為y=x+m，則B（-m，0），C（0，m），
∴△BOC和△DBE是等腰直角三角形，
∴BE=DE，
∵OC∥DE，
∴BO：OE=BC：CD，
而CD=2BC，
∴OE=2OB=2m，
∴BE=OB+OE=3m，
∴DE=3m，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)（2m，3m），
把D（2m，3m）代入y=

6

x

得2m•3m=6，解得出m₁=1，m₂=-1，
∴平移后的直線解析式為y=x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了直線平移、等腰直角三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理．