Question

如圖，在△ABC中，點B，C是x軸上的兩個定點，∠ACB=90°，AC=BC，點A（1，3），點P是x軸上的一個動點，點E是AB的中點，在△PEF中，∠PEF=90°，PE=EF．

（1）如圖1，當點P與坐標原點重合時，
①求證：△PCE≌△FBE；
②求點F的坐標；
（2）如圖2，當點P在線段CB上時，求證：S_△CPE=S_△AEF；
（3）如圖3，當點P在線段CB的延長線時，若S_△AEF=4S_△PBE，則此刻點F的坐標為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接CE，①易證∠PEC=∠FEB，即可證明△PCE≌△FBE；
②根據(jù)（1）中結(jié)論可得BF=OC=1，即可解題；
（2）易證∠CEP+∠AEF=180°，可得sin∠CEP=sin∠AEF，即可求得S_△CPE=S_△AEF；
（3）連接CE，易證∠FEC=∠BEP，即可證明△FCE≌△PBE，可得S_△CFE=S_△BEP，即可求得AF=4CF，即可解題．

解答：解：（1）連接CE，

①證明：∵∠PEC+∠CEF=90°，∠FEB+∠CEF=90°，
∴∠PEC=∠FEB，
在△PCE和△FBE中，

PE=PF ∠PEC=∠FEB CE=BE

，
∴△PCE≌△FBE（SAS）；
②解：∵△PCE≌△FBE，
∴BF=OC=1，
∴點F坐標（4，-1）；
（2）證明：∵E是AB中點，
∴AE=CE，∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠PEF=90°，
∴∠CEP+∠AEF=180°，
∴sin∠CEP=sin∠AEF，
∵S_△CPE=

1

2

CE•PE•sin∠CEP，S_△AEF=

1

2

AE•EF•sin∠AEF，
∴S_△CPE=S_△AEF；
（3）證明：連接CE，

∵∠FEC+∠BEF=90°，∠BEF+∠BEP=90°，
∴∠FEC=∠BEP，
在△FCE和△PBE中，

CE=BE ∠FEC=∠BEP EF=EP

，
∴△FCE≌△PBE（SAS）；
∴S_△CFE=S_△BEP，
∵S_△AEF=4S_△PBE，
∴AF=4CF，
∴CF=1，
∴點F坐標為（1，-1），
故答案為（1，-1）．

點評：本題考查了全等三角形的判定和全等三角形面積相等的性質(zhì)，本題中求證△PCE≌△FBE和△FCE≌△PBE是解題的關(guān)鍵．