Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長線上，且∠CBF=

1

2

∠CAB．
（1）求證：BE=CE；
（2）求證：直線BF是⊙O的切線；
（3）若AB=10，sin∠CBF=

5

5

，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,扇形面積的計算,銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）由AB是⊙O的直徑可得AE⊥BC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可證到BE=CE．
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAE=

1

2

∠CAB，從而得到∠BAE=∠CBF，進(jìn)而可以證到∠ABF=90°，就可得到直線BF是⊙O的切線．
（3）利用三角函數(shù)可求出BE的長，再根據(jù)勾股定理可求出AE的長，然后用半圓OAB的面積減去△AEB的面積就可得到陰影部分的面積．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC．
∵AB=AC，
∴BE=CE．

（2）證明：∵AB=AC，AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE=

1

2

∠CAB． 
∵∠CBF=

1

2

∠CAB，
∴∠BAE=∠CBF．
∴∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF=90°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴直線BF是⊙O的切線．

（3）解：∵sin∠CBF=

5

5

，∠BAE=∠CBF，
∴sin∠BAE=

5

5

．
∵∠AEB=90°，AB=10，
∴BE=AB•sin∠BAE=10×

5

5

=2

5

．
∵∠AEB=90°，
∴AE=

AB2-BE2

=4

5

．
∴S_陰影=S_半圓A0B-S_△ABE=

1

2

π(

AB

2

)2-

1

2

AE•BE=

1

2

π(

10

2

)2-

1

2

×2

5

×4

5

=

25π

2

-20．
∴陰影部分的面積為

25π

2

-20．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定、直徑所對的圓周角、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理、扇形的面積等知識，有一定的綜合性．