Question

已知△ABC是為等邊三角形，P為任意一點．

（1）當(dāng)P在三角形內(nèi)部時（圖1），比較AP與BP+CP的大小，并說明理由；
（2）當(dāng)P在BC邊上時（圖2），用“＞”“=”“＜”填空：AP

 

BP+CP；（不需說明理由）
（3）當(dāng)P在三角形外部時（圖3），
①請你借助旋轉(zhuǎn)知識說明AP≤BP+CP；
②線段AP是否存在最大值？若存在，請指出存在的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）、（2）此題只需根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊和等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)行分析即可；
（3）①應(yīng)把AP和BP所在的三角形旋轉(zhuǎn)，與AP組成三角形，將△BPC繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使C點與A點重合，得△BP′A，易得△BPP′為正三角形，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可證明．
②由①得線段AP存在最大值，P′在AP上時．

解答：解：（1）AP＜PB+PC．理由如下．
如圖1，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC．
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：BC＜PB+PC．
又∵PA＜AB，
∴PA＜BC，
∴PA＜PB+PC；

（2）如圖2，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC．
又∵AP＜AB，BP+CP=BC
∴AP＜BC，
∴AP＜BP+CP．
故答案是：＜；

（3）①將△BPC繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，則C點與A點重合，得△BP′A．
連接PP′．
∵∠PBP′=60°，BP=BP′，AP′=PC．
∴△BPP′為正三角形．
∴PP′=BP．
i）如圖3，若P′在AP上，則AP=PP′+AP′=BP+CP；
ii）如圖4，若P′不在AP上，連接AP′、PP′，
在△APP′中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：
AP＜AP′+PP′，
∴AP＜BP+PC，
綜上所述：AP≤BP+CP；

②線段AP有最大值．
當(dāng)且僅當(dāng)P′在AP上時，AP=BP+PC；
存在的條件是：∠BPC=120°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．求三邊關(guān)系，那么這三邊應(yīng)在一個三角形中，可通過旋轉(zhuǎn)得到．