Question

已知直線y=-

1

2

x+

5

2

與反比例函數(shù)y=

m

x

交于A、B兩點，且OA⊥AB．
（1）求OA的長度；
（2）求m的值；
（3）若B點橫坐標為整數(shù)，請直接寫出點B的坐標，并在射線OA上找一點P，使以A、B、P為頂點的三角形與△COD相似．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）首先求得OC和OD的長度，然后根據(jù)△OCD的面積公式即可求得OA的長；
（2）根據(jù)一次函數(shù)與直線OA垂直，即可求得直線OA的解析式，然后解OA的解析式和直線AB的解析式組成的方程組即可求得A的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得m的值；
（3）分△BAP∽△COD和△PAB∽△COD兩種情況進行討論，求得AP的長度，然后利用相似三角形的性質(zhì)求得P的坐標．

解答：解：（1）在y=-

1

2

x+

5

2

中，令x=0，解得：y=

5

2

；
令y=0，解得：x=5，
則C的坐標是（0，

5

2

），D的坐標是（5，0）．
則OC=

5

2

，OD=5．
則CD=

( 5 2 )2+52

=

5 5

2

，
∵S_△OCD=

1

2

OC•OD=

1

2

CD•OA，
∴OA=

OC•OD

CD

=

5 2 ×5

5 5 2

=

5

；

（2）∵OA⊥AB，
∴直線OA的解析式是y=2x．
根據(jù)題意得：

y=- 1 2 x+ 5 2 y=2x

，
解得：

x=1 y=2

，
則A的坐標是（1，2），代入y=

m

x

，得：m=2；

（3）根據(jù)題意得：

y=- 1 2 x+ 5 2 y= 2 x

，
解得：

x=1 y=2

或

x=4 y= 1 2

，
則B的坐標是（4，

1

2

）．
則AB=

(4-1)2+(2- 1 2 )2

=

3 5

2

，
當△BAP∽△COD時，

AP

OD

=

AB

OC

，即

AP

5

=

3 5 2

5 2

，解得：AP=3

5

，則OP=4

5

，
過P作PF⊥x軸于F，過A作AE⊥x軸于E．
則△OAE∽△POF，
∴

OF

OE

=

PF

AE

=

OP

OA

=

4 5

5

=4，
∴OF=4OE=4，PF=4AE=8，
則P的坐標是（4，8）；
當△PAB∽△COD時，

PA

OC

=

AB

OD

，即

PA

5 2

=

3 5 2

5

，解得：PA=

3 5

4

，
同理可得P的坐標是：（

7

2

，7）．
則P的坐標是：（4，8）或（

7

2

，7）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，通過反比例函數(shù)的知識，考查學生的猜想探究能力．解題時先直觀地猜想，正確進行討論是關(guān)鍵．