Question

【題目】已知：如圖所示的一張矩形紙片， 將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開， 折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連結AF和CE．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）在線段AC上是否存在一點P，使得?若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，過點E作AD的垂線，交AC于點，點就是符合條件的點，見解析

【解析】

（1）由折疊的性質得出EF垂直平分AC，OA=OC，由矩形的性質得出∠B=90°，AD∥BC，得出∠∠，∠EAO=∠FCO，由ASA證明△AOE≌△COF，得出AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，即可得出結論；
（2）過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點．則∠AEP=90°，證出△AOE∽△AEP，得出對應邊成比例，則AE2=AOAP，再由AO＝AC，即可得出結論．

（1）證明：在矩形ABCD中, AD∥BC

∴ ∠∠，∠＝∠

由折疊可知：OA=OC

∴ △≌△

∴ AE=CF，

又AE∥CF

∴ 四邊形是平行四邊形

又由折疊可知:AF=CF，

∴ 四邊形是菱形.

（2）存在，過點E作AD的垂線，交AC于點，點就是符合條件的點.

理由如下：

由作法得：∠AEP=90°，

由(1)得：AC⊥EF，

∴∠90°

∴∠∠90°，

又∵∠∠

∴ △∽△

∴ 　

∴AE2=AOAP，

∵AO＝AC，

∴AE2＝ACAP

即：．