Question

如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B﹣A﹣D﹣A運(yùn)動(dòng)，沿B﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度，沿A﹣D﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．連結(jié)PQ．

（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AP的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）連結(jié)AQ，在點(diǎn)P沿B﹣A﹣D運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)A不重合時(shí)，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）過點(diǎn)Q作QR∥AB，交AD于點(diǎn)R，連結(jié)BR，如圖②．在點(diǎn)P沿B﹣A﹣D運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時(shí)t的值．

（4）設(shè)點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時(shí)t的值．

 

 

Answer 1

（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．

當(dāng)點(diǎn)P沿D﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．

（2）S=48t﹣48 （3）t=1或 （4）t=7，t=，t=

【解析】【解析】
（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．

當(dāng)點(diǎn)P沿D﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP=AB，t=1．

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP=AD，8t﹣8=50，t=．

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，如圖①．

過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E．

S△ABQ==，

∴QE===．

∴S△APQ=AP×EQ=(13-13t）×=﹣30t2+30t．

當(dāng)1＜t≤時(shí)，如圖②．

S==，

∴S=48t﹣48；

（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)R重合時(shí)，

AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．

當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖③．

∵S△BPM=S△BQM，

∴PM=QM．

∵AB∥QR，

∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，

在△BPM和△RQM中

∴△BPM≌△RQM．

∴BP=RQ，

∵RQ=AB，

∴BP=AB

∴13t=13，

解得：t=1

當(dāng)1＜t≤時(shí)，如圖④．

∵BR平分陰影部分面積，

∴P與點(diǎn)R重合．

∴t=．

當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖⑤．

∵S△ABR=S△QBR，

∴S△ABR＜S四邊形BQPR．

∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分．

綜上所述，當(dāng)t=1或時(shí)，線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分．

（4）如圖⑥，當(dāng)P在A﹣D之間或D﹣A之間時(shí)，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時(shí)，

∴∠C′OQ=∠OQC．

∵△C′OQ≌△COQ，

∴∠C′OQ=∠COQ，

∴∠CQO=∠COQ，

∴QC=OC，

∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，

解得：t=7或t=．

當(dāng)P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時(shí)，如圖⑦．

同理由菱形的性質(zhì)可以得出：OD=PD，

∴50﹣5t+13=8（t﹣1）﹣50，

解得：t=．

∴當(dāng)t=7，t=，t=時(shí)，點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)分別為C′、D′，且C′D′∥BC．

（1）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P沿D﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)分別可以表示出AP的值；

（2）分類討論，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，當(dāng)1＜t＜時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式分別求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）分情況討論，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，當(dāng)1＜t＜時(shí)，當(dāng)＜t＜時(shí)，利用三角形的面積相等建立方程求出其解即可；

（4）分情況討論當(dāng)P在A﹣D之間或D﹣A之間時(shí)，如圖⑥，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可以知道四邊形QCOC′為菱形，根據(jù)其性質(zhì)建立方程求出其解，當(dāng)P在D﹣A之間如圖⑦，根據(jù)菱形的性質(zhì)建立方程求出其解即可．