Question

【題目】如圖1，點(diǎn)在正方形的對角線上，正方形的邊長是，的兩條直角邊分別交邊于點(diǎn)．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定點(diǎn)，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．

填空：①當(dāng)時(shí)，四邊形的邊長是_____；

②當(dāng)（是正實(shí)數(shù)）時(shí)，四邊形的面積是______；

（2）猜想論證：如圖3，將四邊形的形狀改變?yōu)榫匦危?/span>，，點(diǎn)在矩形的對角線，的兩條直角邊分別交邊于點(diǎn)，固定點(diǎn)，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則______；

（3）拓展探究：如圖4，當(dāng)四邊形滿足條件：，，時(shí)，點(diǎn)在對角線上，分別交邊于點(diǎn)，固定點(diǎn)，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄?/span>的值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）；（3），理由見解析

【解析】

（1）①先判定△PMC∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解；②先用①中的方法求得正方形PMCN的邊長；
（2）先過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可；
（3）先過P作PG∥AB，作PH∥AD，并結(jié)合條件∠B+∠D=180°，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可．

（1）①

，，，，，，，，即，，

∵四邊形是正方形，∴四邊形的邊長是．

②

當(dāng)時(shí)，，，，∴四邊形的面積為．

（2）

如圖，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，，又，，，．由，，得，，，，即，．

（3）．理由如下：

如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，

，，

即，

，

，，

又，，

，．

由，，得，，

，

即，．