【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0).
(1)若b=1,a=﹣c,求證:二次函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個不同的交點;
(2)若a0,c=0,且對于任意的實數(shù)x,都有y1,求4a+b2的取值范圍;
(3)若函數(shù)圖象上兩點(0,y1)和(1,y2)滿足y1y2>0,且2a+3b+6c=0,試確定二次函數(shù)圖象對稱軸與x軸交點橫坐標的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2) ;(3)
【解析】
(1)根據(jù)已知條件計算一元二次方程的判別式即可證得結(jié)論;
(2)根據(jù)已知條件求得拋物線的頂點縱坐標,再整理即可;
(3)將(0,y1)和(1,y2)分別代入函數(shù)解析式,由y1y2>0,及2a+3b+6c=0,得不等式組,變形即可得出答案.
解:(1)證明:∵y=ax2+bx+c(a≠0),
∴令y=0得:ax2+bx+c=0
∵b=1,a=﹣c,
∴△=b2﹣4ac=1﹣4(﹣c)c=1+2c2,
∵2c2≥0,
∴1+2c2>0,即△>0,
∴二次函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個不同的交點;
(2)∵a<0,c=0,
∴拋物線的解析式為y=ax2+bx,其圖象開口向下,
又∵對于任意的實數(shù)x,都有y≤1,
∴頂點縱坐標,
∴﹣b2≥4a,
∴4a+b2≤0;
(3)由2a+3b+6c=0,可得6c=﹣(2a+3b),
∵函數(shù)圖象上兩點(0,y1)和(1,y2)滿足y1y2>0,
∴c(a+b+c)>0,
∴6c(6a+6b+6c)>0,
∴將6c=﹣(2a+3b)代入上式得,﹣(2a+3b)(4a+3b)>0,
∴(2a+3b)(4a+3b)<0,
∵a≠0,則9a2>0,
∴兩邊同除以9a2得,
,
∴或,
∴,
∴二次函數(shù)圖象對稱軸與x軸交點橫坐標的取值范圍是:.
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【題目】數(shù)軸上O,A兩點的距離為4,一動點P從點A出發(fā),按以下規(guī)律跳動:第1次跳動到AO的中點A1處,第2次從A1點跳動到A1O的中點A2處,第3次從A2點跳動到A2O的中點A3處,按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4,A5,A6,…,An.(n≥3,n是整數(shù))處,那么線段AnA的長度為________(n≥3,n是整數(shù)).
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=3.點E在線段BA上從B點以每秒1個單位的速度出發(fā)向A點運動,F(xiàn)是射線CD上一動點,在點E、F運動的過程中始終保持EF=5,且CF>BE,點P是EF的中點,連接AP.設(shè)點E運動時間為ts.
(1)在點E、F運動的過程中,AP的長度存在一個最小值,當(dāng)AP的長度取得最小值時,點P的位置應(yīng)該在 .
(2)當(dāng)AP⊥EF時,求出此時t的值
(3)以P為圓心作⊙P,當(dāng)⊙P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時,求出此時t的值,并指出此時⊙P的半徑長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點B坐標為(0,m)(m>0),點A在x軸正半軸上,直線AB經(jīng)過點A,B,且tan∠BAO=2.
(1)若點A的坐標為(3,0),求直線AB的表達式;
(2)反比例函數(shù)y=的圖象與直線AB交于第一象限的C、D兩點(BD<BC),當(dāng)AD=2DB時,求k1的值(用含m的式子表示);
(3)在(1)的條件下,設(shè)線段AB的中點為E,過點E作x軸的垂線,垂足為M,交反比例函數(shù)y=的圖象于點F.分別連接OE、OF,當(dāng)△OEF與△OBE相似時,請直接寫出滿足條件的k2值.
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【題目】如圖,將的邊繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到,邊AC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,聯(lián)結(jié).當(dāng)時,我們稱是的“雙旋三角形”.如果等邊的邊長為a,那么它的“雙旋三角形”的面積是__________(用含a的代數(shù)式表示).
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【題目】某公司選派兩人參加年度培訓(xùn),小穎媽媽、張阿姨、李阿姨和王阿姨都報了名,若從4人中隨機選派2人
(1)“小穎被選派”是 事件,“小穎媽媽被選派”是 事件.(填“不可能”或“必然“或“隨機”)
(2)試用畫樹狀圖或列表的方法表示這次選派所有可能的結(jié)果,并求出“小穎媽媽被選派”的概率.
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【題目】如圖,已知直線l:y=﹣x+4分別與x軸、y軸交于點A,B,雙曲線(k>0,x>0)與直線l不相交,E為雙曲線上一動點,過點E作EG⊥x軸于點G,EF⊥y軸于點F,分別與直線l交于點C,D,且∠COD=45°,則k=_____.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,∠CAB=30°,以AB的中點為圓心,OA的長為半徑作半圓交AC于點D,則圖中陰影部分的面積為_____.
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-1,0)、點B(3,0)、點C(4,y1),若點D(x2,y2)是拋物線上任意一點,有下列結(jié)論:①二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值為-4a;②若-1≤x2≤4,則0≤y2≤5a;③若y2>y1,則x2>4;④一元二次方程cx2+bx+a=0的兩個根為-1和.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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