Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）．

（1）若b＝1，a＝﹣c，求證：二次函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個不同的交點(diǎn)；

（2）若a0，c＝0，且對于任意的實(shí)數(shù)x，都有y1，求4a+b2的取值范圍；

（3）若函數(shù)圖象上兩點(diǎn)（0，y1）和（1，y2）滿足y1y2＞0，且2a+3b+6c＝0，試確定二次函數(shù)圖象對稱軸與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） ；（3）

【解析】

（1）根據(jù)已知條件計(jì)算一元二次方程的判別式即可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)已知條件求得拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，再整理即可；

（3）將（0，y1）和（1，y2）分別代入函數(shù)解析式，由y1y2＞0，及2a+3b+6c＝0，得不等式組，變形即可得出答案．

解：（1）證明：∵y＝ax2+bx+c（a≠0），

∴令y＝0得：ax2+bx+c＝0

∵b＝1，a＝﹣c，

∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4（﹣c）c＝1+2c2，

∵2c2≥0，

∴1+2c2＞0，即△＞0，

∴二次函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個不同的交點(diǎn)；

（2）∵a＜0，c＝0，

∴拋物線的解析式為y＝ax2+bx，其圖象開口向下，

又∵對于任意的實(shí)數(shù)x，都有y≤1，

∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，

∴﹣b2≥4a，

∴4a+b2≤0；

（3）由2a+3b+6c＝0，可得6c＝﹣（2a+3b），

∵函數(shù)圖象上兩點(diǎn)（0，y1）和（1，y2）滿足y1y2＞0，

∴c（a+b+c）＞0，

∴6c（6a+6b+6c）＞0，

∴將6c＝﹣（2a+3b）代入上式得，﹣（2a+3b）（4a+3b）＞0，

∴（2a+3b）（4a+3b）＜0，

∵a≠0，則9a2＞0，

∴兩邊同除以9a2得，

，

∴或，

∴，

∴二次函數(shù)圖象對稱軸與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是：．