Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠BCD＜90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，試在邊AB上確定點P的位置，使得以P、C、D為頂點的三角形是直角三角形．

Answer 1

【答案】在線段AB上且距離點A為1、6、處．

【解析】

分∠DPC＝90°，∠PDC＝90，∠PDC＝90°三種情況討論，在邊AB上確定點P的位置，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AP的長，使得以P、A、D為頂點的三角形是直角三角形．

（1）如圖，當∠DPC＝90°時，

∴∠DPA+∠BPC＝90°，

∵∠A＝90°，

∴∠DPA+∠PDA＝90°，

∴∠BPC＝∠PDA，

∵AD∥BC，

∴∠B=180°-∠A=90°，

∴∠A＝∠B，

∴△APD∽△BCP，

∴，

∵AB=7，BP=AB-AP，AD=2，BC=3，

∴，

∴AP2﹣7AP+6＝0，

∴AP＝1或AP＝6，

（2）如圖：當∠PDC＝90°時，過D點作DE⊥BC于點E，

∵AD//BC，∠A=∠B=∠BED=90°，

∴四邊形ABED是矩形，

∴DE＝AB＝7，AD=BE=2，

∵BC＝3，

∴EC＝BC-BE=1，

在Rt△DEC中，DC2＝EC2+DE2＝50，

設AP＝x，則PB＝7﹣x，

在Rt△PAD中PD2＝AD2+AP2＝4+x2，

在Rt△PBC中PC2＝BC2+PB2＝32+（7﹣x）2，

在Rt△PDC中PC2＝PD2+DC2 ，即32+（7﹣x）2＝50+4+x2，

解方程得：．

（3）當∠PDC＝90°時，

∵∠BCD＜90°，

∴點P在AB的延長線上，不合題意；

∴點P的位置有三處，能使以P、A、D為頂點的三角形是直角三角形，分別在線段AB上且距離點A為1、6、處．