Question

如圖①，△ABC與△DEF是將△ACF沿過A點(diǎn)的某條直線剪開得到的（AB，DE是同一條剪切線）．平移△DEF使頂點(diǎn)E與AC的中點(diǎn)重合，再繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)△DEF，使ED，EF分別與AB，BC交于M，N兩點(diǎn)．
（1）如圖②，△ABC中，若AB=BC，且∠ABC=90°，則線段EM與EN有何數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論；
（2）如圖③，△ABC中，若AB=BC，那么（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給出證明：若不成立，請說明理由；
（3）如圖④，△ABC中，若AB：BC=m：n，探索線段EM與EN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),多邊形內(nèi)角與外角,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題,探究型

分析：（1）由四邊形的內(nèi)角和為360°可以推出∠HEM=∠GEN，由等腰三角形的三線合一及角平分線的性質(zhì)可以推出EH=EG，從而可以證到△HEM≌△GEN，進(jìn)而有EM=EG．
（2）借鑒（1）的證明方法同樣可以證到EM=EG．
（3）借鑒（2）中解題經(jīng)驗可以證到△HEM∽△GEN，從而有EM：EN=EH：EG．由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)可得S_△AEB=S_△CEB，可證到EH：EG=BC：AB，從而得到EM：EN=BC：AB=n：m．

解答：解：（1）EM=EN．
證明：過點(diǎn)E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如答圖②所示．

則∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．

（2）EM=EN仍然成立．
證明：過點(diǎn)E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如答圖③所示．

則∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．

（3）線段EM與EN滿足關(guān)系：EM：EN=n：m．
證明：過點(diǎn)E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如答圖④所示．

則∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵∠HEM=∠GEN，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM∽△GEN．
∴EM：EN=EH：EG．
∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，
∴S_△AEB=S_△CEB．
∴

1

2

AB•EH=

1

2

BC•EG．
∴EH：EG=BC：AB．
∴EM：EN=BC：AB．
∵AB：BC=m：n，
∴EM：EN=n：m．

點(diǎn)評：本題通過圖形的變換，考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和等知識，同時也滲透了變中有不變的辯證思想，而運(yùn)用等積法又是解決第三小題的關(guān)鍵，是一道好題．