Question

如圖1，有一組平行線l₁∥l₂∥l₃∥l₄，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在l₁，l₂，l₃，l₄上，EG過(guò)點(diǎn)D且垂直l₁于點(diǎn)E，分別交l₂，l₄于點(diǎn)F，G，EF=DG=1，DF=2．
（1）AE=

 

，正方形ABCD的邊長(zhǎng)=

 

；
（2）如圖2，將∠AEG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到∠AE′D′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），點(diǎn)D′在直線l₃上，以AD′為邊在E′D′左側(cè)作菱形AB′C′D′，使B′，C′分別在直線l₂，l₄上．
①寫(xiě)出∠B′AD′與α的數(shù)量關(guān)系并給出證明；
②若α=30°，求菱形AB′C′D′的邊長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的邊長(zhǎng)；
（2）①過(guò)點(diǎn)B′作B′M垂直于l₁于點(diǎn)M，進(jìn)而得出Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），求出∠B′AD′與α的數(shù)量關(guān)系即可；
②首先過(guò)點(diǎn)E作ON垂直于l₁分別交l₁，l₂于點(diǎn)O，N，若α=30°，則∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理可知菱形的邊長(zhǎng)．

解答：解：（1）由題意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
在△AED和△DGC中，

∠AEF=∠DGC ∠3=∠2 AD=CD

，
∴△AED≌△DGC（AAS），
∴AE=GD=1，
又∵DE=1+2=3，
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)=

12+32

=

10

，
故答案為：1，

10

；

（2）①∠B′AD′=90°-α；
理由：過(guò)點(diǎn)B′作B′M垂直于l₁于點(diǎn)M，
在Rt△AED′和Rt△B′MA中，

B′M=AE AB′=AD′

，
∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），
∴∠D′AE+∠B′AM=90°，
∠B′AD′+α=90°，
∴∠B′AD′=90°-α；

②過(guò)點(diǎn)E作ON垂直于l₁分別交l₁，l₃于點(diǎn)O，N，
若α=30°，
則∠ED′N=60°，AE=1，
故EO=

1

2

，EN=

5

2

，ED′=

5 3

3

，
由勾股定理可知菱形的邊長(zhǎng)為：

25 3 +1

=

84

3

=

2 21

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．