Question

如圖，在△ABC中M為垂心，O為外心，∠BAC=60°，且△ABC外接圓直徑為10，則AM=

 

．

Answer 1

考點：三角形的五心

專題：

分析：延長AM交BC于D，延長CM交AB于E，作直徑BF，連結(jié)AF，由BF為⊙的直徑得到∠BAF=90°，根據(jù)正弦的定義得到AB=10•sinF=10•sin∠ACB，再根據(jù)M為△ABC的垂心得∠ADB=∠AEC=90°，則可得到△AEM∽△ADB，所以

AE

AD

=

AM

AB

，即AM=

AE•AB

AD

，在Rt△AEC和Rt△ADC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)得到AE=

1

2

AC，AD=AC•sin∠ACD，然后把AE、AB、AD分別代入AM=

AE•AB

AD

中進行計算即可．

解答：解：延長AM交BC于D，延長CM交AB于E，作直徑BF，連結(jié)AF，如圖，
∵BF為⊙的直徑，
∴∠BAF=90°，
∴sinF=

AB

BF

=

AB

10

，
∴AB=10•sinF=10•sin∠ACB，
又∵點M為△ABC的垂心，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴△AEM∽△ADB，
∴

AE

AD

=

AM

AB

，即AM=

AE•AB

AD

，
在Rt△AEC中，∠EAC=60°，AC=2AE，即AE=

1

2

AC，
在Rt△ADC中，sin∠ACD=

AD

AC

，即AD=AC•sin∠ACD，
∴AM=

1 2 •AC•10•sin∠ACB

AC•sin∠ACD

=5．
故答案為5．

點評：本題考查了三角形五心：三角形三條高線的交點叫三角形的垂心；三角形外接圓的圓心叫三角形的外心．也考查了銳角三角函數(shù)和三角形相似的判定與性質(zhì)．