Question

9．如圖，拋物線y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點，作垂直于x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交拋物線于N，當MN有最大值時，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．

Answer 1

分析 拋物線y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2分別交y軸、x軸于A（0、2）、B（4、0））兩點，利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，假設x=t時，線段MN的長度是否存在最大值，可得M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），則可得MN=（-t²+$\frac{7}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，然后根據(jù)平行四邊形的性質求解即可求得答案．

解答 解：∵拋物線y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點，
∴A（0、2）、B（4、0））兩點，
∴設直線AB的解析式為y=kx+b，∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴直線為：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
假設x=t時，線段MN的長度存在最大值，
由題意易得：M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），
∴MN=（-t²+$\frac{7}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當t=2時，MN有最大值4；
由題意可知，D的可能位置有如圖三種情形，
當D在y軸上時，
設D的坐標為（0，a）
由AD=MN得|a-2|=4，
解得a₁=6，a₂=-2，
∴D為（0，6）或D（0，-2）
當D不在y軸上時，由圖可知D為D₁N與D₂M的交點，
∵直線D₁N的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+6，直線D₂M的解析式為：y=$\frac{3}{2}$x-2，
由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4），
綜上可得：所求的D為（0，6），（0，-2）或（4，4）．

點評 此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值問題以及平行四邊形的性質等知識．此題難度較大，綜合性強，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用．