Question

AB是⊙O的直徑，CE⊥AB于E，

AC

=

CD

，AD與CE交于點F，AB=10，AC=

30

（1）求證：AF=CF；
（2）求AE的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)BC，如圖，根據(jù)圓周角定理，AB是⊙O的直徑得到∠2+∠BCE=90°，而∠BCE+∠B=90°，則∠B=∠2，再由

AC

=

CD

得∠B=∠1，所以∠1=∠2，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理有AF=CF；
（2）證明Rt△ACE∽Rt△ABC，然后利用相似比可計算出AE．

解答：（1）證明：連結(jié)BC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即∠2+∠BCE=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠B=90°，
∴∠B=∠2，
∵

AC

=

CD

，
∴∠B=∠1，
∴∠1=∠2，
∴AF=CF；
（2）解：∵∠B=∠2，
∴Rt△ACE∽Rt△ABC，
∴AE：AC=AC：AB，即AE：

30

=

30

：10，
∴AE=3．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．