【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,過點C做⊙O 的切線,與AE的延長線交于點D,且AD⊥CD.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若AB=10,CD=4,求DE的長.
【答案】(1)見解析;(2)DE=2
【解析】
(1)連接OC,利用切線的性質可得出OC∥AD,再根據(jù)平行線的性質得出∠DAC=∠OCA,又因為∠OCA=∠OAC,繼而可得出結論;
(2)方法一:連接BE交OC于點H,可證明四邊形EHCD為矩形,再根據(jù)垂徑定理可得出,得出,從而得出,再通過三角形中位線定理可得出,繼而得出結論;方法二:連接BC、EC,可證明△ADC∽△ACB,利用相似三角形的性質可得出AD=8,再證△DEC∽△DCA,從而可得出結論;方法三:連接BC、EC,過點C做CF⊥AB,垂足為F,利用已知條件得出OF=3,再證明△DEC≌△CFB,利用全等三角形的性質即可得出答案.
解:(1)證明:連接OC,
∵CD切☉O于點C
∴OC⊥CD
∵AD⊥CD
∴∠D=∠OCD=90°
∴∠D+∠OCD=180°
∴OC∥AD
∴∠DAC=∠OCA
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∴∠DAC=∠OAC
∴AC平分DAB
(2)方法1:連接BE交OC于點H
∵AB是☉O直徑
∴∠AEB=90°
∴∠DEC=90°
∴四邊形EHCD為矩形
∴CD=EH=4
DE=CH
∴∠CHE=90°
即OC⊥BH
∴EH=BE=4
∴BE=8
∴在Rt△AEB中
AE=6
∵EH=BH
AO=BO
∴OH=AE=3
∴CH=2
∴DE=2
方法2:
連接BC、EC
∵AB是直徑
∴∠ACB=90°
∴∠D=∠ACB
∵∠DAC=∠CAB
∴△ADC∽△ACB
∴
∠B=∠DCA
∴AC2=10·AD
∵AC2=AD2+CD2
∴10·AD=AD2+16
∴AD=2舍AD=8
∵四邊形ABCE內接于☉O
∴∠B+∠AEC=180°
∵∠DEC+∠AEC=180°
∴∠B=∠DEC
∴∠DEC=∠DCA
∵∠D=∠D
∴△DEC∽△DCA
∴
∴CD2=AD·DE
∴16=8·DE
∴DE=2;
方法3:
連接BC、EC,過點C做CF⊥AB,垂足為F
∵CD⊥AD,∠DAC=∠CAB
∴CD=CF=4,∠D=∠CFB=90°
∵AB=10
∴OC=OB=5
∴OF=3
∴BF=OB-OF=5-3=2
∵四邊形ABCE內接于☉O
∴∠B+∠AEC=180°
∵∠DEC+∠AEC=180°
∴∠B=∠DEC
∴△DEC≌△CFB
∴DE=FB=2.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D、E分別是AB、BC的中點,F在CA延長線上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,則四邊形AEDF的周長為( 。
A. 16 B. 20 C. 18 D. 22
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【題目】10個人圍成一個圓圈做游戲,游戲的規(guī)則是:每個人心里都想好一個數(shù),并把自己想好的數(shù)如實地告訴與他相鄰的兩個人,然后每個人將與他相鄰的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報出來,若報出來的數(shù)如圖所示,則報2的人心里想的數(shù)是____.
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【題目】如圖乙,和是有公共頂點的等腰直角三角形,,點為射線,的交點.
(1)如圖甲,將繞點旋轉,當、、在同一條直線上時,連接、,則下列給出的四個結論中,其中正確的是哪幾個 ;(回答直接寫序號)
①;②;③;④
(2)若,,把繞點旋轉.
①當時,求的長;
②直接寫出旋轉過程中線段的最大值和最小值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,點D是AC的中點,連接BD,按以下步驟作圖:①分別以B,D為圓心,大于BD的長為半徑作弧,兩弧相交于點P和點Q;②作直線PQ交AB于點E,交BC于點F,則BF=( 。
A. B. 1C. D.
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【題目】騎自行車旅行越來越受到人們的喜愛,各種品牌的山地自行車相繼投放市場.某車行經(jīng)營的 A 型車去年 4 月份銷售總額為 3.2 萬元,今年經(jīng)過改造升級后 A 型車每輛銷售價比去年增加 400 元,若今年 4 月份與去年4 月份賣出的 A 型車數(shù)量相同,則今年 4 月份 A 型車銷售總額將比去年 4 月份銷售總額增加 25%.(A、B 兩種型號車 今年的進貨和銷售價格如下表所示)
(1)求今年 4 月份 A 型車每輛銷售價多少元(用列方程進行解答);
(2)該車行計劃 5 月份新進一批 A 型車和 B 型車共 50 輛,設購進的 A 型車為 x 輛,獲得的總利潤為 y 元,請寫 出 y 與 x 之間的函數(shù)關系式;
(3)在(2)的條件下,若 B 型車的進貨數(shù)量不超過 A 型車數(shù)量的兩倍,應如何進貨才能使這批車獲利最大?最大 利潤是多少?
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【題目】如圖,A為反比例函數(shù)y=(其中x>0)圖象上的一點,在x軸正半軸上有一點B,OB=4.連接OA、AB,且OA=AB=2.
(1)求k的值;
(2)過點B作BC⊥OB,交反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象于點C.
①連接AC,求△ABC的面積;
②在圖上連接OC交AB于點D,求的值.
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中,小正方形的邊長為1.△ABC的頂點都在格點上.
(1)把△ABC沿BA方向平移后,點A移到點A1,在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1;
(2)把△A1B1C1繞點A1逆時針旋轉90°,在網(wǎng)格中畫出旋轉后的△A1B2C2;
(3)在(2)的條件下,直接寫出點C1至點C2的經(jīng)過的路徑長.
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