Question

已知直線y=-x+1交x，y軸于A，B兩點(diǎn)，反比例函數(shù)y=

k

x

在第一象限內(nèi)的圖象上有點(diǎn)P，連AP，BP且四邊形OAPB是正方形．
①求反比例函數(shù)的解析式；
②若動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，作PM⊥x軸交AB于E點(diǎn)；PN⊥y軸交AB于F點(diǎn)．以下有兩個(gè)結(jié)論：AF與BE的積不變，AF與BE的商不變，其中有一個(gè)是正確的，請(qǐng)選出正確的結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線的解析式即可求得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)，代入y=

k

x

即可求得k的值，從而求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）分兩種情況討論討論即可證得．

解答：解：（1）由直線y=-x+1可知：A（1，0），B（0，1），
∵四邊形OAPB是正方形，
∴P（1，1），
代入y=

k

x

即可求得k=1，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

1

x

．

（2）AF與BE的積不變；
如圖a，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P的左側(cè)P₁處時(shí)，設(shè)P₁（x，

1

x

），則M（1，

1

x

），

在等腰直角三角形FAM中，AM=

1

x

，則AF=

1

x

2

，
在等腰直角三角形NBE中，NB=x，則BE=x

2

，
所以AF與BE乘積=

1

x

2

•x

2

=2是定值．
如圖b，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P的左側(cè)P₂處時(shí)，設(shè)P₁（x，

1

x

），則N（1，

1

x

），M（x，1），

在等腰直角三角形BEM中，BM=x，則BE=x

2

，
在等腰直角三角形NBE中，NA=

1

x

，則FA=

1

x

2

，
所以AF與BE乘積=x

2

•

1

x

2

=2是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)等，（2）確定出M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．