【題目】如圖1,拋物線與
軸交于
兩點(diǎn)(點(diǎn)
在點(diǎn)
左側(cè)),與
軸交于點(diǎn)
,點(diǎn)
拋物線的頂點(diǎn).
(1)求直線的解析式;
(2)拋物線對稱軸交軸于點(diǎn)
,
為直線
上方的拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)
作
于點(diǎn)
,當(dāng)線段
的長最大時(shí),連接
,過點(diǎn)
作射線
,且
,點(diǎn)
為射線
上一動點(diǎn)(點(diǎn)
不與點(diǎn)
重合),連接
,
為
中點(diǎn),連接
,求
的最小值;
(3)如圖2,平移拋物線,使拋物線的頂點(diǎn)在射線
上移動,點(diǎn)
,
平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)
,
,
軸上有一動點(diǎn)
,連接
,
,
是否能為等腰直角三角形?若能,請求出所有符合條件的
點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
,
,
.
【解析】
(1)首先求出B、D兩點(diǎn)坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法即可解決問題;
(2)如圖2中,設(shè)P(m,-m2+
m+2
),連接PD、PB,作PQ⊥OB于Q.由題意欲求PF的最大值,易知當(dāng)△PBD面積最大時(shí),PF的值最大,由S△PBD=S△PDE+S△PEB-S△EDB,構(gòu)建二次函數(shù),求出PF的值最大時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2
,2
),易知點(diǎn)H的運(yùn)動軌跡是線段PE的垂直平分線,易知當(dāng)AH垂直PE的垂直平分線時(shí),AH的值最小.利用相似三角形的性質(zhì)求出AK,即可解決問題;
(3)如圖3中,作MN⊥BD于N.當(dāng)MN=BD時(shí),存在△MB'D'為等腰直角三角形(只要D′或B′與N重合即可),易知H(0,4),由△HMN∽△DBE,可得
,推出HM=
,推出OM=HM-OH=
-4
=
,可得M(0,-
),點(diǎn)M關(guān)于H的對稱點(diǎn)M′也滿足條件,此時(shí)M′(0,
),當(dāng)M″是HM的中點(diǎn)時(shí),M″是等腰三角形△M″B′D′的直角頂點(diǎn);
(1)把代入,得
,解得:
,
∴,
∵
∴
設(shè)直線的解析式為
把,
代入,得:
,解得:
∴直線的解析式為
(2)如圖2中,設(shè)P(m,-m2+
m+2
),連接PD、PB,作PQ⊥OB于Q.
由題意欲求PF的最大值,易知當(dāng)△PBD面積最大時(shí),PF的值最大,
S△PBD=S△PDE+S△PEB-S△EDB=×
×(m-
)+
×2
×(-
m2+
m+2
)-
×2
×
=-
(m-2
)2+
,
∵-<0,
∴m=2時(shí),△PBD的面積最大,PF的值最大,
∴此時(shí)P(2,2
),
易知點(diǎn)H的運(yùn)動軌跡是線段PE的垂直平分線,
∴當(dāng)AH垂直PE的垂直平分線時(shí),AH的值最小,設(shè)AH交EM于K,
在Rt△EPQ中,PE=,
由△AKE∽△EQP,得到,
∴AK=,易知HK=NE=
PE=
,
∴AH=AK+KH=.
(3)如圖3中,作MN⊥BD于N.
∵B(3,0),D(
,
),
∴BD=,
當(dāng)MN=BD時(shí),存在△MB'D'為等腰直角三角形(只要D′或B′與N重合即可),
∵直線BD的解析式為y=-x+4
,直線BD與y軸的交點(diǎn)H(0,4
),
∵△HMN∽△DBE,
∴,
∴,
∴HM=,
∴OM=HM-OH=-4
=
,∴M(0,-
),
點(diǎn)M關(guān)于H的對稱點(diǎn)M′也滿足條件,此時(shí)M′(0,),
當(dāng)M″是HM的中點(diǎn)時(shí),M″是等腰三角形△M″B′D′的直角頂點(diǎn),此時(shí)M″(0,),
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-)或(0,
)或(0,
).
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=2,∠B=30°,△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<120°)得到,
與BC,AC分別交于點(diǎn)D,E.設(shè)
,
的面積為
,則
與
的函數(shù)圖象大致為( )
A.B.
C.
D.
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【題目】如圖,有長為24m的籬笆,現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長度a為10m)圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃,設(shè)花圃的寬AB為xm,面積為Sm2.
(1)要圍成面積為45m2的花圃,AB的長是多少米?
(2)求AB的長是多少時(shí)花圃的面積最大?
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【題目】如圖,BC是半⊙O的直徑,點(diǎn)P是半圓弧的中點(diǎn),點(diǎn)A是弧BP的中點(diǎn),AD⊥BC于D,連結(jié)AB、PB、AC,BP分別與AD、AC相交于點(diǎn)E、F.
(1)求證:AE=BE;
(2)判斷BE與EF是否相等嗎,并說明理由;
(3)小李通過操作發(fā)現(xiàn)CF=2AB,請問小李的發(fā)現(xiàn)是否正確?若正確,請說明理由;若不正確,請寫出CF與AB正確的關(guān)系式.
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【題目】如圖,已知拋物線與
軸交于
,
兩點(diǎn),(點(diǎn)
在點(diǎn)
的左邊),與
軸交于點(diǎn)
.
(1)求點(diǎn),
,
的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)(與點(diǎn)
,
不重合),過點(diǎn)
作
軸于點(diǎn)
,交直線
于點(diǎn)
,連接
,直線
能否把
分成面積之比為2:3的兩部分?若能,請求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
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【題目】如圖,在□ABCD中,AD是⊙O的弦,BC是⊙O的切線,切點(diǎn)為B.
(1)求證:;
(2)若AB=5,AD=8,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,將邊長為6的正方形沿其對角線
剪開,再把
沿著
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,當(dāng)兩個三角形重疊部分的面積為5時(shí),則
為______.
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【題目】某農(nóng)場擬建三間矩形牛飼養(yǎng)室,飼養(yǎng)室的一面全部靠現(xiàn)有墻(墻長為40m),飼養(yǎng)室之間用一道用建筑材料做的墻隔開(如圖).已知計(jì)劃中的建筑材料可建圍墻的總長為60m,設(shè)三間飼養(yǎng)室合計(jì)長x(m),總占地面積為y(m2).
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量的取值范圍.
(2)x為何值時(shí),三間飼養(yǎng)室占地總面積最大?最大為多少?
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【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD為AB邊上的中線.在Rt△AEF中,∠AEF=90°,AE=EF,AF<AC.連接BF,M,N分別為線段AF,BF的中點(diǎn),連接MN.
(1)如圖1,點(diǎn)F在△ABC內(nèi),求證:CD=MN;
(2)如圖2,點(diǎn)F在△ABC外,依題意補(bǔ)全圖2,連接CN,EN,判斷CN與EN的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并加以證明;
(3)將圖1中的△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),若AC=a,AF=b(b<a),直接寫出EN的最大值與最小值.
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