【題目】如圖,△ABC中,AB=5cm,BC=3cm,AC=4cm,若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始,按照C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng),且運(yùn)動(dòng)速度為每秒2cm,設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.
(1)請(qǐng)判斷△ABC的形狀,說(shuō)明理由
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△BCP是以BC為腰的等腰三角形,求出t的值
(3)另有一點(diǎn)Q,從點(diǎn)C開(kāi)始,按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā), 當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)t為何值時(shí),P、Q兩點(diǎn)之間的距離為,直接寫(xiě)出t的值.
【答案】(1)△ABC是直角三角形,理由見(jiàn)解析;(2)t=1.5或2.7或3;(3)當(dāng)t為1秒或秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)之間的距離為.
【解析】
(1)直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形;
(2)由于動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始,按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng),故應(yīng)分點(diǎn)P在AC上與AB上兩種情況進(jìn)行討論;
(3)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為時(shí),分四種情況討論:點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在BC上;點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè);點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè);點(diǎn)P在AB上,點(diǎn)Q在BC上,分別求得t的值并檢驗(yàn)即可.
(1)△ABC是直角三角形.
∵AB=5,BC=3,AC=4,
∴AC2+BC2=25=AB2,
∴△ABC是直角三角形;
(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí),CP=CB=3,則t=3÷2=1.5秒;
如圖,當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí),分兩種情況:
若BP=BC=3,則AP=2,
故t=(4+2)÷2=3秒;
若CP=CB=3,作CM⊥AB于M,則×AB×MC=×BC×AC,
×5×MC=×3×4,
解得CM=2.4,
∴由勾股定理可得PM=BM=1.8,即BP=3.6,
∴AP=1.4,
故t=(4+1.4)÷2=2.7秒.
綜上所述,當(dāng)t=1.5、3或2.7 時(shí),△BCP是以BC為腰的等腰三角形.
故答案為:t=1.5或2.7或3;
(3)①如圖,當(dāng)點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(0≤t≤2),
由勾股定理可得:(2t)2+t2=5,
解得t=1;
②如圖,當(dāng)點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)(3≤t<4),
由題可得:12-2t-t=,
解得t= ;
③當(dāng)點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)(4<t≤4.5),
由題可得:2t+t-12=,
解得t=,
∵t=>4.5,
∴不成立,舍去.
④當(dāng)點(diǎn)P在AB上,點(diǎn)Q在BC上時(shí),PQ的長(zhǎng)不合題意;
綜上所述,當(dāng)t為1秒或秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)之間的距離為.
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【題目】如圖,點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上,AB=DE,∠B=∠DEF.要使△ABC≌△DEF,則需要再添加的一個(gè)條件是_______.(寫(xiě)出一個(gè)即可)
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AD是BC邊上的高,點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PC+PE最小時(shí),∠CPE的度數(shù)是( )
A.30°B.45°C.60°D.70°
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【題目】如圖,正方形的面積為,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),,將線(xiàn)段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)落在直線(xiàn)上,落點(diǎn)記為,則________,的長(zhǎng)為________.
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【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊形為1個(gè)單位長(zhǎng)度,線(xiàn)段AD的兩個(gè)端點(diǎn)都在格點(diǎn)上,點(diǎn)B是線(xiàn)段AD上的格點(diǎn),且BD=1,直線(xiàn)l在格線(xiàn)上.
(1)在直線(xiàn)l的左側(cè)找一格點(diǎn)C,使得△ABC是等腰三角形(AC<AB),畫(huà)出△ABC.
(2)將△ABC沿直線(xiàn)l翻折得到△,試畫(huà)出△.
(3)畫(huà)出點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到點(diǎn)D、A’的距離相等,且到邊AB、AA’的距離相等.
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【題目】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,過(guò)B作BE⊥AD于E,過(guò)E作EF∥AC交AB于F,則下列結(jié)論:(1)AF=FE,(2)FE=FB,(3)FE=BE,(4)AF=BF,(5)BE =BF,成立的有( )
A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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【題目】一輛汽車(chē)和一輛摩托車(chē)分別從A,B兩地去同一個(gè)城市,它們離A地的路程隨時(shí)間變化的圖象如圖所示.則下列結(jié)論:①摩托車(chē)比汽車(chē)晚到1h;②A,B兩地的路程為20km;③摩托車(chē)的速度為45km/h,汽車(chē)的速度為60km/h;④汽車(chē)出發(fā)1小時(shí)后與摩托車(chē)相遇,此時(shí)距B地40千米.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 1個(gè)
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【題目】閱讀材料并回答問(wèn)題:
我們知道,乘法公式可以用平面幾何圖形的面積來(lái)表示,實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示,如:,就可以用圖1或圖2等圖形的面積表示.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出圖3所表示的代數(shù)恒等式: ;
(2)試畫(huà)一個(gè)幾何圖形,使它的面積表示:;
(3)請(qǐng)仿照上述方法另寫(xiě)一個(gè)含有,的代數(shù)恒等式,并畫(huà)出與它對(duì)應(yīng)的幾何圖形.
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【題目】在菱形中,,是對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn),是線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),且,連接、.
若是線(xiàn)段的中點(diǎn),如圖,易證:(不需證明);
若是線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn),其它條件不變,如圖、圖,線(xiàn)段、有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫(xiě)出你的猜想;并選擇一種情況給予證明.
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