Question

如圖，在等邊△ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CF∥AB交直線DN于點F．

（1）當點D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①，求證：CF+BE=CD；

（提示：過點F作FM∥BC交射線AB于點M．）

（2）當點D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②；當點D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角時，如圖③，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數量關系，不需要證明；

（3）在（2）的條件下，若∠ADC=30°，S_△ABC=4，則BE=　8　，CD=　4或8　．

Answer 1

（1）證明：如圖①，過點F作FM∥BC交射線AB于點M，

∵CF∥AB，

∴四邊形BMFC是平行四邊形，

∴BC=MF，CF=BM，

∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，

∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，

∵∠ADN=60°，

∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，

∴∠BDE=∠DAC，

∴∠MFE=∠DAC，

在△MEF與△CDA中，

，

∴△MEF≌△CDA（AAS），

∴CD=ME=EB+BM，

∴CD=BE+CF．

 

（2）如圖②，CF+CD=BE，如圖3，CF﹣CD=BE；

 

（3）如圖②圖③，BE=8，CD=4或8．