【題目】如圖在直角坐標平面內(nèi),拋物線與軸交于點A,與x軸分別交于點B(-1,0)、點C(3,0),點D是拋物線的頂點.
(1)求拋物線的表達式及頂點D的坐標;
(2)連接AD、DC,求的面積;
(3)點P在直線DC上,聯(lián)結(jié)OP,若以O、P、C為頂點的三角形與△ABC相似,求點P的坐標.
【答案】(1)y=x2-2x-3,(1,-4)(2)3(3)
【解析】試題分析:
(1)把點B、C的坐標代入所給解析式列出關(guān)于a、b的方程組,解方程組求得a、b的值即可得到所求所求解析式;
(2)由(1)中所得解析式可得求得點D的坐標,這樣由兩點間的距離公式可求得AC、CD、AD的長,結(jié)合勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形,即可求得其面積了;
(3)如下圖,由已知先證△CAD∽△AOB,進一步可證得∠BAC=∠BCD,結(jié)合△ABC是銳角三角形可知,若△OPC與它相似,則△OPC也是銳角三角形,則點P只能在第四象限,由點C、D的坐標可求得直線CD的解析式為,由此可得設(shè)點P的坐標為(0<t<3),過點P作PH⊥OC于點H,則OH=t,PH=6-2t,然后分①當∠POC=∠ABC,時,由tan∠POC=tan∠ABC得和②當∠POC=∠ACB時,由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1得即可分別解得對應的t的值,從而求得點P的坐標.
試題解析:
(1)點B(-1,0)、C(3,0)在拋物線上
∴,解得 ,
∴拋物線的表達式為,
∵,
∴頂點D的坐標是(1,-4)
(2)如下圖,∵A(0,-3),C(3,0),D(1,-4),
∴AC=,CD=,AD=,
∴CD2=AC2+AD2,
∴∠CAD=90°,
∴S△ACD=AC·AD=3;
(3)如下圖,∵∠CAD=∠AOB=90°,,
∴△CAD∽△AOB,
∴∠ACD=∠OAB,
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴∠OAC=∠OCA=45°,
∴∠OAC+∠OAB=∠OCA+∠ACD,即∠BAC=∠BCD,
若以
則△POC也為銳角三角形,點P在第四象限,
由點C(3,0),D(1,-4)得直線CD的表達式是,設(shè)P(0<t<3),
過P作PH⊥OC,垂足為點H,則OH=t,PH=6-2t,
①當∠POC=∠ABC時,由tan∠POC=tan∠ABC得,
∴,解得,
∴P1;
②當∠POC=∠ACB時,由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1得,
∴ ,解得,
∴P2,
綜上得P1或P2.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF為正三角形,E、F在菱形的邊BC,CD上.
(1)證明:BE=CF.
(2)當點E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上移動時(△AEF保持為正三角形),請?zhí)骄克倪呅蜛ECF的面積是否發(fā)生變化?若不變,求出這個定值;如果變化,求出其最大值.
(3)在(2)的情況下,請?zhí)骄俊鰿EF的面積是否發(fā)生變化?若不變,求出這個定值;如果變化,求出其最大值.
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【題目】如圖,已知線段,,請你用量角器和刻度尺按下列要求畫圖:
(1)以為頂點,為一邊,在同側(cè)畫,與相交于點;
(2)取線段的中點,連接;
(3)用量角器得 ;
(4)用刻度尺測得線段 ,的長為 .(結(jié)果保留整數(shù)),圖中與線段相等的線段有 .
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D為AB上一點,以CD為直徑的⊙O交BC于點E,連接AE交CD于點P,交⊙O于點F,連接DF,∠CAE=∠ADF.
(1)判斷AB與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若PF:PC=1:2,AF=5,求CP的長.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,如果點A,點C為某個菱形的一組對角的頂點,且點A,C在直線y = x上,那么稱該菱形為點A,C的“極好菱形”. 下圖為點A,C的“極好菱形”的一個示意圖.
已知點M的坐標為(1,1),點P的坐標為(3,3).
(1)點E(2,1),F(1,3),G(4,0)中,能夠成為點M,P的“極好菱形”的頂點的是 ;
(2)如果四邊形MNPQ是點M,P的“極好菱形”.
①當點N的坐標為(3,1)時,求四邊形MNPQ的面積;
②當四邊形MNPQ的面積為8,且與直線y = x + b有公共點時,寫出b的取值范圍.
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【題目】正方形ABCD,CEFG按如圖放置,點B,C,E在同一條直線上,點P在BC邊上,PA=PF,且∠APF=90°,連接AF交CD于點M,有下列結(jié)論:①EC=BP;②AP=AM;③∠BAP=∠GFP;④AB2+CE2=AF2;⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG=2S△APF.其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤
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【題目】(本題10分)某自行車廠一周計劃生產(chǎn)700輛自行車,平均每天生產(chǎn)自行車100輛,由于各種原因,實際每天生產(chǎn)量與計劃每天生產(chǎn)量相比有出入。下表是某周的自行車生產(chǎn)情況(超計劃生產(chǎn)量為正、不足計劃生產(chǎn)量為負,單位:輛):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減 | +8 | -2 | -3 | +16 | -9 | +10 | -11 |
(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)自行車 輛;
(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天生產(chǎn) 輛;
(3)若該廠實行按生產(chǎn)的自行車數(shù)量的多少計工資,即計件工資制。如果每生產(chǎn)一輛自行車就可以得人民幣60 元,超額完多成任務,每超一輛可多得 15 元;若不足計劃數(shù)的,每少生產(chǎn)一輛扣 15 元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與x軸,y軸分別交于A,B兩點,點為直線上一點,直線過點C.
求m和b的值;
直線與x軸交于點D,動點P從點D開始以每秒1個單位的速度向x軸負方向運動設(shè)點P的運動時間為t秒.
①若點P在線段DA上,且的面積為10,求t的值;
②是否存在t的值,使為等腰三角形?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在中,,cm, cm,在中,,cm,cm.EF在BC上,保持不動,并將以1cm/s的速度向點C運動,移動開始前點F與點B重合,當點E與點C重合時,停止移動.邊DE與AB相交于點G,連接FG,設(shè)移動時間為t(s).
(1)從移動開始到停止,所用時間為________s;
(2)當DE平分AB時,求t的值;
(3)當為等腰三角形時,求t的值.
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