Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3（a≠0）的圖象與x軸交于點A（1，0）、B（-3，0），與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，與直線BC交于點P，求△ABP的周長．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：（1）把A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax²+bx+3得到關(guān)于a、b的方程組，解方程組求出a和b即可；
（2）先確定拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，3），則可利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y=x+3，再確定拋物線的對稱軸為直線x=-1，所以點P的橫坐標為-1，再利用直線BC的解析式得到P點坐標為（-1，2），然后根據(jù)兩點間的距離公式計算出PA、PB、AB，最后計算三角形的周長．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

9a-3b+3=0 a+b+3=0

，
解得

a=-1 b=-2

．
所以該二次函數(shù)的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）拋物線y=-x²-2x+3與y軸的交點C的坐標為（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b₁，把B（-3，0）C（0，3）代入得

-3k+b1=0 b1=3

，
解得

k=1 b1=3

．
∴直線BC的解析式為y=x+3，
∵拋物線y=-x²-2x+3的對稱軸為直線x=-

-2

2×(-1)

=-1，
∴點P的橫坐標為-1，
把x=-1代入y=x+3得y=2，
∴P點坐標為（-1，2），
∵A（1，0），B（-3，0）
∴PB=

22+(3-1)2

=2

2

，
AP=

22+(1+1)2

=2

2

，
AB=4
∴△ABP的周長=PA+PB+AB=2

2

+2

2

+4=4

2

+4．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查來哦二次函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理．