Question

如圖，?ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，∠BAD和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)E．若?ABCD的周長為18，△AOB的周長比△AOD的周長少3，則OE=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：延長AE交BC于F，利用平行四邊形的性質(zhì)和已知條件可證明△ABF是等腰三角形，又可證明BE⊥AF，所以AE=EF，即E是AF中點(diǎn)，又因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，所以O(shè)E為△AFC的中位線，求出CF的長，即可求出OE的長．

解答：解：延長AE交BC于F，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO，∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠BAD和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)E，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AE⊥BE，
∴AE=EF，
∴OE是△AFC的中位線，
∵?ABCD的周長為18，△AOB的周長比△AOD的周長少3，
∴AB=3，AD=6，
∴CF=BC-BF=AD-AB=3，
∴OE=

1

2

CF=

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線的判定和性質(zhì)，題目牽扯到的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線和靈活的運(yùn)用平行四邊形的各種性質(zhì)．