Question

如圖，直線y=mx+3與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于A，B兩點(diǎn)，與x軸y軸分別交于點(diǎn)C、D，AD=AB，AF⊥y軸于F，BE⊥x軸于E，F(xiàn)A的延長(zhǎng)線與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．
（1）求證：A，B分別為FG、EG的中點(diǎn)．
（2）當(dāng)S_△OAB=3時(shí)，求雙曲線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用“角角邊”證明△ADF和△ABG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得AF=AG，從而確定點(diǎn)A是FG的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，表示出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)，然后求出BE=GB，從而得到點(diǎn)B是EG的中點(diǎn)；
（2）根據(jù)S_△OAB=S_矩形OEGF-S_△AOF-S_△OBE-S_△ABG，然后列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵AF⊥y軸，BE⊥x軸，F(xiàn)A的延長(zhǎng)線與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，
∴∠AFD=∠G=90°，
在△ADF和△ABG中，

∠AFD=∠G=90° ∠DAF=∠BAG AD=AB

，
∴△ADF≌△ABG（AAS），
∴AF=AG，
∴A為FG的中點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，
則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為

k

a

，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2a，
∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為

k

a

，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

k

2a

，
∴GE=2BE，
即點(diǎn)B為EG的中點(diǎn)，
故A，B分別為FG、EG的中點(diǎn)；

（2）解：由圖可知，S_△OAB=S_矩形OEGF-S_△AOF-S_△OBE-S_△ABG，
=2a•

k

a

-

1

2

•a•

k

a

-

1

2

•a•

k

a

-

1

2

a•（

k

a

-

k

2a

），
=2k-

k

2

-

k

2

-

k

4

，
=

3

4

k，
∵S_△OAB=3，
∴

3

4

k=3，
解得k=4，
所以，雙曲線的解析式為y=

4

x

．

點(diǎn)評(píng)：本題是反比例函數(shù)綜合題型，主要利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)的定義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難點(diǎn)在于（2）用矩形的面積和直角三角形的面積表示出△OAB的面積并整理成關(guān)于k的代數(shù)式．