Question

Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠BAC，
（1）過點D作DE⊥AB，垂足為E（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）線段AC，CD，AB之間的數(shù)量關系是什么？請說明理由．

Answer 1

考點：角平分線的性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）以點D為圓心，適當長為半徑畫弧，交BA于兩點，以這兩點為圓心，大于這兩點距離的一半為半徑畫弧，交BA的上方于一點，作過這點和點D的直線交BA于點E；
（2）根據(jù)AAS可以證明△ACD≌△AED，得AE=AC，DE=CD．根據(jù)等腰直角三角形的性質，得∠B=45°，則∠BED=45°，從而證明DE=BE，則可得出AB=AC+CD．

解答：解：（1）如圖，


（2）AB=AC+CD，理由如下：
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=∠EAD．
在△ACD與△AED中，

∠CAD=∠EAD ∠C=∠AED=90° AD=AD

，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE，CD=ED．
∵∠BED=90°，∠B=45°，
∴∠BDE=∠B=45°，
∴DE=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

點評：此題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，以及過一點作已知直線的垂線，難度適中．